Wissensdatenbank Wirtschaftsrecht

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Betriebswirtschaftslehre 2 - Investitionsrechnung und Finanzierung - Kapitel 2 - Finanzmathematische Grundlagen


Inhalte von Prof. Dr. Thomas Urban
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2.1 Finanzmathematische Grundlagen



2.1.1 Einfache Verzinsung

  • Zinsen sind die Vergrößerung eines Betrages in einer bestimmten definierten Zeit, der Zinsperiode
  • Maß der Verzinsung ist durch den Zinssatz gegeben
  • wegen der anzutreffenden unterschiedlichen Zinszuschreibungsmodalitäten resultieren aus einem bestimmten nominellen Jahreszinssatz durchaus verschiedene s. g. effektive Jahreszinssätze
  • bei Zinsrechnungen werden Zahlungen auf einen einheitlichen Zeitpunkt bezogen und zu diesem Zeitpunkt verglichen
    • entweder zum Zeitpunkt t0 oder zum Ende der Zinsvereinbarung (Zeitpunkt n), d. h. nach n Perioden

  • wird im Zeitraum t0 ein Betrag K0 zur Verfügung gestellt, so sind die zu zahlenden Zinsen Z proportional zur Zeit t und proportional zum Kapital K0
  • der Proportionalitätsfaktor heißt Zinssatz i (Einheit % p. a.)
  • Wenn die Zinsen am Ende des Zeitraumes dem Kapital zugeschlagen werden, dann beträgt das Kapital nach n Jahren:
  • Ksub> = K0 + (K0 * i) + ... + (K0 * i) = K0 + (K0 * i * n) = K0 * (1 + i * n)
  • n = Anzahl der Perioden
  • i = Jahreszinssatz

  • die Zinsen können auch in Abhängigkeit von der Zahl der Tage T angeben werden, wobei das Jahr im allgemeinen zur rechnerischen Vereinfachung 360 Tage gerechnet wird T = Zahl der Tage; 1 Jahr = 360 Tage

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2008.gif)



2.1.2 Zinseszinsrechnung


Jährliche Zinszuschreibung


  • ein zum Zeitpunkt t0 verfügbarer Kapitalbetrag K0 werde zum Zinssatz i angelegt, der als Jahreszinssatz definiert ist.
  • nach genau 1 Jahr und der entsprechenden Zinszuschreibung ist der Kapitalbetrag K1 vorhanden mit
    • K1 = K0 + i * K0 = K0 * (1 + i)
  • nach genau 2 Jahren beträgt der vorhandene Kapitalbetrag K2
    • K2 = K1 + i * K1 = K1 * (1+i) = K0 * (1 + i)2
  • nach genau n Jahren ist der Betrag Kn vorhanden mit
    • Kn = Kn-1 + i * Kn-1 = Kn-1 * (1 + i) = K0 * (1 + i)n
  • nach einer Anlagedauer von n Jahren ergibt sich ein nach dieser Zeit erzielter, zum Zeitpunkt n vorliegender Endwert En in Abhängigkeit von der Größe n des Betrachtungszeitraumes zu
    • En = Kn = K0 * (1 + i)n = K0 * qn



Beispiel:
  • Bezogen auf die Geldanlage (Sparbrief) beträgt der Endwert E2
  • E2 = K2 = 1.000 * (1 + 0,05)2 = 1.102,50


 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2009.gif)
Aufzinsung in der Kaufmännischen Verzinsung
  • Auflösung der Zinsformel nach dem Betrag K0 erlaubt den Vergleich der gleichwertigen Investitionssummen ⇒ Formel für den "Barwert" eines in der Zukunft fälligen Betrages:

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2010.gif)

  • Bei der Abzinsung (= Diskontierung) liegt die Fragestellung zugrunde, wie viel ein Kapitalbetrag Kn, der am Ende des Jahres n anfällt, zu Beginn des Planungszeitraums wert ist.


 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2011.gif)
Abzinsung in der Kaufmännischen Verzinsung


Um bei gegebenem Zinssatz i die Dauer n zu ermitteln, verwendet man folgende Beziehung:

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2012.gif)

Die Verzinsung i, die bei einer bestimmten Laufzeit n notwendig ist, um von K0 aus Kn zu erreichen, kann folgendermaßen ermittelt werden:

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2013.gif)


Unterjährige Verzinsung


  • Begriffe werden gern durcheinander gebracht!
  • wenn bei Zinseszinsrechnungen der Zuschlag der angelaufenen Zinsen auf das Kapital zu mehreren Terminen gleichen Abstandes im Jahr erfolgt ⇒ unterjähriger Verzinsung
  • relativen unterjährigen Zinssatz irel ⇒ Jahreszins i wird in so viele Teile m geteilt, wie Termine pro Jahr gesetzt sind

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2014.gif)
  • Der Jahreszinssatz i ist dann nicht mehr wirksam und wird daher als nominelle Verzinsung dieses Jahres bezeichnet. Die effektive Verzinsung ieff ergibt z. B. bei zwei Terminen pro Jahr:

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2015.gif)
  • Bei m Terminen gilt:  (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2016.gif)

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2017.gif)
  • Dieses Kn ist größer als das entsprechende bei jährlichem Zinszuschlag.

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2018.gif)


Anwendung des relativen unterjährigen Zinssatzes irel ergibt gegenüber dem nominellen Zinssatz i eine höhere effektive Jahresverzinsung ieff

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2019.gif)

Ermittlung des nominellen Zinssatzes aus der effektiven Jahresverzinsung:

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2020.gif)


Gemischte Verzinsung


  • wenn der Verzinsungszeitraum nicht nur aus ganzen Berechnungsperioden (Jahren) besteht, sondern auch aus Bruchteilen davon ⇒ gemischte Verzinsung vorgenommen

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2021.gif)
  • Liegen die unvollständigen Zinsperioden am Anfang und am Ende der Laufzeit, ergibt sich folgende Berechnung:

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2022.gif)
  • Die Ermittlung des Barwertes K0 ergibt sich bei gemischter Verzinsung demzufolge als:

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2023.gif)


Stetige Verzinsung


  • Bei gleichem Nominalzinssatz steigt die effektive Verzinsung mit der Häufigkeit der unterjährigen Zinstermine.

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2024.gif)

  • für möglichst hohe Verzinsung ⇒ sehr weitgehende Aufteilung der Zinsperiode anstreben
    • K1 wird maximal für m ⇒ ∞; m = unterjährige Zinstermine
  • wenn m ⇒ ∞ gesetzt wird, dann folgt:

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2025.gif)

  • effektiver Jahreszins ieff bei stetiger Verzinsung:
  • K0 * (1 + ieff) = K1 * ei
  • 1 + ieff = ei
  • ieff = ei - 1


Beispiel
• Welchen Betrag besitzt ein Guthaben von 1.000 € nach Ablauf eines Jahres, wenn es
a) jährlich mit 12 %,
b) vierteljährlich mit 3 %,
c) monatlich mit 1 %,
d) an 360 Zinstagen täglich mit 12/360 %,
e) stetig mit einer Momentanverzinsung von 12 % verzinst wird?



2.2 Barwert und Endwert


  • Kapitalbeträge zum Zeitpunkt t = 0 durch Auf-(Ver-)zinsung zu einem Endwert in t = n überführt oder aus einem Endkapital durch Abzinsung (Diskontierung) das Anfangskapital ermittelt werden
  • unterschiedliche Anlage- oder Kreditformen können miteinander verglichen werden ⇒ nicht nur einzelne Zahlungen sondern auch Zahlungsströme
  • Ein Zahlungsstrom ist dadurch charakterisiert, dass zum Zeitpunkt t Einzahlungen Et und/oder Auszahlungen At erfolgen, die als Periodenüberschuss (periodische Nettozahlung) Pt zusammengefasst werden können.
  • Erfolgt die Diskontierung der Differenz der periodischen Ein- und Auszahlungen mit q-n (Diskontierungsfaktor) auf einen Bezugszeitpunkt, wird dieser Betrag als Barwert BW des Zahlungsstroms bezeichnet.

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2026.gif)


Beispiel

• Wie hoch sind die Barwerte der nachfolgenden Zahlungsreihen (alle Werte in €), wenn für Zahlungsreihe (ZR) I ein Zinssatz von 5% p. a. und für Zahlungsreihe II ein Zinssatz von 6% p. a. gilt?

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2027.gif)


• Erfolgt eine Aufzinsung der Differenz der jährlichen Ein- und Auszahlungen (Nettozahlungen) mit q-n (Aufzinsungsfaktor), wird der sich ergebende Betrag als Endwert E-n des Zahlungsstroms bezeichnet.

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2028.gif)


Beispiel

• Wie hoch sind die Endwerte der nachfolgenden Zahlungsreihen (alle Werte in €), wenn für Zahlungsreihe (ZR) I ein Zinssatz von 5% p. a. und für Zahlungsreihe II ein Zinssatz von 6% p. a. gilt?

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2029.gif)



2.3 Rentenrechnung


• Renten stellen regelmäßig wiederkehrende Zahlungen dar, d. h. die Dauer der Zahlungen (Rentendauer) muss mindestens über zwei Perioden gehen.


Merkmale der Rentenzahlungen

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2.3.1 Konstante jährliche nachschüssige Rentenzahlungen mit jährlichen Zinsen


  • Periodenzahlungen identischer Höhe = Rente r
  • bei der nachschüssigen Rente erfolgt der Zahlungsfluss immer am Ende einer Periode und wird ab diesem Zeitpunkt über eine Laufzeit von n Jahren mit einem Jahreszinssatz i sowie Zinseszins verzinst

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2031.gif)
  • Rentenbarwert R-0 berechnet sich als Summe der Barwerte der einzelnen Rentenzahlungen

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2032.gif)
  • bei dem Term  (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2033.gif) handelt es sich um eine Aufsummierung von Diskontierungsfaktoren
  • Der Ausdruck  (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2034.gif) wird nachschüssiger Rentenbarwertfaktor (RBF) genannt.
    • Der Rentenbarwertfaktor hängt vom Zinssatz i und der Laufzeit n ab.
    • Der Kapitalwert entspricht dem Rentenbarwert: C0 = R-0
  • Rentenbarwert
.
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  • Rentenendwert Rn = Summe aller Rentenzahlungen und ihrer zugehörigen Zinsen und Zinseszinsen am Ende der Laufzeit
  • Rentenendwert ergibt sich als Aufzinsung des Rentenbarwertes mit der Formel der Zinsrechnung:

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2036.gif)
  • nachschüssiger Rentenendwertfaktor (REF) wird funktional wie folgt beschrieben:

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2037.gif)


Berechnung der Rentenhöhe und der Laufzeit bei nachschüssiger Terminierung


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2.3.2 Konstante jährliche vorschüssige Rentenzahlungen mit jährlichen Zinsen


  • bisheriger Ansatz: Rentenzahlungen erfolgen jeweils am Ende eines Jahres
  • allerdings können diese auch zu Beginn des Jahres stattfinden und werden ab diesem Zeitpunkt mit dem jeweiligen Jahreszinssatz zinseszinslich verzinst

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2039.gif)

  • Rentenbarwert einer vorschüssig gezahlten Rente:

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2040.gif)

  • vorschüssiger Rentenbarwertfaktor: Symbol a'n

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2041.gif)

  • analog zum vorschüssigen Rentenbarwert hat die zeitliche Verschiebung der Zahlungen um eine Periode nach vorn, die gleiche Auswirkung auf den zugehörigen Rentenendwert
  • der vorschüssige Rentenendwert ergibt sich somit als der um eine Periode aufgezinste nachschüssige Rentenendwert

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2042.gif)

  • vorschüssiger Rentenbarwertfaktor: Symbol s'n

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2043.gif)


Berechnung der Rentenhöhe und der Laufzeit bei vorschüssiger Terminierung


 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2044.gif)



2.3.3 Ewige Renten


  • Wenn für die Laufzeit einer Rentenzahlung n ⇒ ∞ gilt, wird dies als ewige Rente bezeichnet. Die ewige Rente entspricht somit den Zinsen des Kapitals.
  • Bestimmung eines Rentendwertes ist aufgrund der nie endenden Laufzeit nicht möglich
  • Welche Auswirkung n ⇒ ∞ auf den nachschüssigen Rentenbarwert?

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2045.gif)

  • für den Rentenbarwert R'0,∞ einer ewigen nachschüssigen Rente folgt:

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2046.gif)

  • wie zu sehen war, erfuhr der vorschüssige Rentenbarwert gegenüber dem nachschüssigen Ansatz die Erweiterung um eine periodische Verzinsung
  • dies für die ewige Rente angewandt, folgt für den vorschüssigen Rentenbarwert R'0, v, ∞:

 (image: http://wdb.fh-sm.de/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2047.gif)



2.4 Annuitätenrechnung


  • Leitgedanke der Annuitätenrechnung besteht darin, Zahlungen gleichmäßig auf die Nutzungsjahre eines Investitionsobjektes zu verteilen
  • Annuitätenrechnung aus Finanzierungssicht
    • wenn für die Durchführung einer Investition eine Schuld (Darlehen, Kredit) aufgenommen wurde, muss diese entsprechend zurückgezahlt werden
    • Wenn der Schuldner seine Zahlungsverpflichtungen gegenüber dem Gläubiger jeweils zum Jahresende in gleich bleibenden Beträgen leistet, heißen diese (Schuld-)Annuitäten.


Annuitätendarlehen


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  • Annuitätenrechnung aus Investorensicht
    • bei der Durchführung einer Investition sind die beteiligten Investoren oft nicht an Einmalzahlungen interessiert, d. h. der Entnahme des positiven Bar- oder Endwertes, sondern an jährlichen Zahlungen über die gesamte Laufzeit

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    • da am Ende der Laufzeit der Endwert En = 0 ist, ergibt sich für die Annuität:

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    • Äquivalente jährliche Zahlungen in konstanter oder wachsender Höhe - die neben Zins und Tilgung in jeder Periode zur Verfügung stehen - heißen Gewinnannuitäten oder nur Annuitäten.





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