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Letzte Änderung am 2019-12-09 14:27:17 durch Christian_Kamm
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**Fachhochschule Schmalkalden
Fakultät Informatik
Professur Wirtschaftsinformatik, insb. Multimedia Marketing
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Bearbeitet am 2019-12-09 14:25:18 von Christian_Kamm
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_<span class="right">Inhalte von Prof. Dr. Thomas Urban</p>_
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Bearbeitet am 2019-11-26 23:55:47 von Oksana Neopagitova
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# Betriebswirtschaftslehre 2 - Investitionsrechnung und Finanzierung - Kapitel 2 - Finanzmathematische Grundlagen

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## 2.1 Finanzmathematische Grundlagen



### 2.1.1 Einfache Verzinsung

>>* Zinsen sind die Vergrößerung eines Betrages in einer bestimmten definierten Zeit, der Zinsperiode
>>* **Maß der Verzinsung** ist durch den **Zinssatz** gegeben
>>* wegen der anzutreffenden unterschiedlichen Zinszuschreibungsmodalitäten resultieren aus einem bestimmten nominellen Jahreszinssatz durchaus verschiedene s. g. **effektive Jahreszinssätze**
>>* bei Zinsrechnungen werden Zahlungen auf einen einheitlichen Zeitpunkt bezogen und zu diesem Zeitpunkt verglichen
>>* entweder zum Zeitpunkt t<sub>0</sub> oder zum Ende der Zinsvereinbarung (Zeitpunkt n), d. h. nach n Perioden
>>* wird im Zeitraum t<sub>0</sub> ein Betrag K<sub>0</sub> zur Verfügung gestellt, so sind die zu zahlenden Zinsen Z proportional zur Zeit t und proportional zum Kapital K<sub>0</sub>
>>* der Proportionalitätsfaktor heißt Zinssatz i (Einheit % p. a.)
>>* Wenn die Zinsen am Ende des Zeitraumes dem Kapital zugeschlagen werden, dann beträgt das Kapital nach n Jahren:
>>* K<subn</sub> = K<sub>0</sub> + (K<sub>0</sub> * i) + ... + (K<sub>0</sub> * i) = K<sub>0</sub> + (K<sub>0</sub> * i * n) = K<sub>0</sub> * (1 + i * n)
>>* n = Anzahl der Perioden
>>* i = Jahreszinssatz


>>* die Zinsen können auch in Abhängigkeit von der Zahl der Tage T angeben werden, wobei das Jahr im allgemeinen zur rechnerischen Vereinfachung 360 Tage gerechnet wird T = Zahl der Tage; 1 Jahr = 360 Tage

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2008.gif?width=150)




### 2.1.2 Zinseszinsrechnung


#### Jährliche Zinszuschreibung


>>* ein zum Zeitpunkt t<sub>0</sub> verfügbarer Kapitalbetrag K<sub>0</sub> werde zum Zinssatz i angelegt, der als Jahreszinssatz definiert ist.
>>* nach genau 1 Jahr und der entsprechenden Zinszuschreibung ist der Kapitalbetrag K<sub>1</sub> vorhanden mit
>>>* K<sub>1</sub> = K<sub>0</sub> + i * K<sub>0</sub> = K<sub>0</sub> * (1 + i)
>>* nach genau 2 Jahren beträgt der vorhandene Kapitalbetrag K<sub>2</sub>
>>>* K<sub>2</sub> = K<sub>1</sub> + i * K<sub>1</sub> = K<sub>1</sub> * (1+i) = K<sub>0</sub> * (1 + i)<sup>2</sup>
>>* nach genau n Jahren ist der Betrag K<sub>n</sub> vorhanden mit
>>>* K<sub>n</sub> = K<sub>n-1</sub> + i * K<sub>n-1</sub> = K<sub>n-1</sub> * (1 + i) = K<sub>0</sub> * (1 + i)<sup>n</sup>
>>* nach einer Anlagedauer von n Jahren ergibt sich ein nach dieser Zeit erzielter, zum Zeitpunkt n vorliegender Endwert E<sub>n</sub> in Abhängigkeit von der Größe n des Betrachtungszeitraumes zu
>>>* E<sub>n</sub> = K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> * (1 + i)<sup>n</sup> = K<sub>0</sub> * q<sup>n</sup>



**Beispiel:**

>>* Bezogen auf die Geldanlage (Sparbrief) beträgt der Endwert E<sub>2</sub>
>>* E<sub>2</sub> = K<sub>2</sub> = 1.000 * (1 + 0,05)<sup>2</sup> = **1.102,50**


![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2009.gif?width=500)
_Aufzinsung in der Kaufmännischen Verzinsung_

>>* Auflösung der Zinsformel nach dem Betrag K<sub>0</sub> erlaubt den Vergleich der gleichwertigen Investitionssummen &rArr; Formel für den "Barwert" eines in der Zukunft fälligen Betrages:

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2010.gif?width=200)


>>* Bei der Abzinsung (= Diskontierung) liegt die Fragestellung zugrunde, wie viel ein Kapitalbetrag K<sub>n</sub>, der am Ende des Jahres n anfällt, zu Beginn des Planungszeitraums wert ist.


![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2011.gif?width=500)
_Abzinsung in der Kaufmännischen Verzinsung_


Um bei gegebenem Zinssatz i die Dauer n zu ermitteln, verwendet man folgende Beziehung:

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2012.gif?width=200)

Die Verzinsung i, die bei einer bestimmten Laufzeit n notwendig ist, um von K<sub>0</sub> aus K<sub>n</sub> zu erreichen, kann folgendermaßen ermittelt werden:

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2013.gif?width=200)



#### Unterjährige Verzinsung


>>* Begriffe werden gern durcheinander gebracht!
>>* wenn bei Zinseszinsrechnungen der Zuschlag der angelaufenen Zinsen auf das Kapital zu mehreren Terminen gleichen Abstandes im Jahr erfolgt &rArr; **unterjähriger Verzinsung**
>>* **relativen unterjährigen Zinssatz** i<sub>rel</sub> &rArr; Jahreszins i wird in so viele Teile m geteilt, wie Termine pro Jahr gesetzt sind

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2014.gif?width=80)

>>* Der Jahreszinssatz i ist dann nicht mehr wirksam und wird daher als **nominelle Verzinsung** dieses Jahres bezeichnet. Die **effektive Verzinsung** i<sub>eff</sub> ergibt z. B. bei zwei Terminen pro Jahr:

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2015.gif?width=200)

>>* Bei m Terminen gilt: ![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2016.gif?width=200)

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2017.gif?width=200)

>>* Dieses K<sub>n</sub> ist größer als das entsprechende bei jährlichem Zinszuschlag.

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2018.gif?width=200)


Anwendung des relativen unterjährigen Zinssatzes i<sub>rel</sub> ergibt gegenüber dem **nominellen Zinssatz** i eine höhere **effektive Jahresverzinsung** i<sub>eff</sub>

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2019.gif?width=150)

Ermittlung des nominellen Zinssatzes aus der effektiven Jahresverzinsung:

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2020.gif?width=400)



#### Gemischte Verzinsung


>>* wenn der Verzinsungszeitraum nicht nur aus ganzen Berechnungsperioden (Jahren) besteht, sondern auch aus Bruchteilen davon &rArr; gemischte Verzinsung vorgenommen

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2021.gif?width=180)

>>* Liegen die unvollständigen Zinsperioden am Anfang und am Ende der Laufzeit, ergibt sich folgende Berechnung:

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2022.gif?width=260)

>>* Die Ermittlung des Barwertes K<sub>0</sub> ergibt sich bei gemischter Verzinsung demzufolge als:

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2023.gif?width=150)



#### Stetige Verzinsung


>>* Bei gleichem Nominalzinssatz steigt die effektive Verzinsung mit der Häufigkeit der unterjährigen Zinstermine.

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2024.gif?width=250)


>>* für möglichst hohe Verzinsung &rArr; sehr weitgehende Aufteilung der Zinsperiode anstreben
>>>* K<sub>1</sub> wird maximal für m &rArr; &infin;; m = unterjährige Zinstermine
>>* wenn m &rArr; &infin; gesetzt wird, dann folgt:

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2025.gif?width=400)


>>* effektiver Jahreszins i<sub>eff</sub> bei stetiger Verzinsung:
>>* K<sub>0</sub> * (1 + i<sub>eff</sub>) = K<sub>1</sub> * e<sup>i</sup>
>>* 1 + i<sub>eff</sub> = e<sup>i</sup>
>>* i<sub>eff</sub> = e<sup>i</sup> - 1


**Beispiel**
&#8226; Welchen Betrag besitzt ein Guthaben von 1.000 &#8364; nach Ablauf eines Jahres, wenn es
a) jährlich mit 12 %,
b) vierteljährlich mit 3 %,
c) monatlich mit 1 %,
d) an 360 Zinstagen täglich mit 12/360 %,
e) stetig mit einer Momentanverzinsung von 12 % verzinst wird?




## 2.2 Barwert und Endwert


>>* Kapitalbeträge zum Zeitpunkt t = 0 durch Auf-(Ver-)zinsung zu einem Endwert in t = n überführt oder aus einem Endkapital durch Abzinsung (Diskontierung) das Anfangskapital ermittelt werden
>>* unterschiedliche Anlage- oder Kreditformen können miteinander verglichen werden &rArr; nicht nur einzelne Zahlungen sondern auch Zahlungsströme
>>* Ein Zahlungsstrom ist dadurch charakterisiert, dass zum Zeitpunkt t Einzahlungen E<sub>t</sub> und/oder Auszahlungen A<sub>t</sub> erfolgen, die als Periodenüberschuss (periodische Nettozahlung) P<sub>t</sub> zusammengefasst werden können.

>>* Erfolgt die Diskontierung der Differenz der periodischen Ein- und Auszahlungen mit q<sup>-n</sup> (Diskontierungsfaktor) auf einen Bezugszeitpunkt, wird dieser Betrag als Barwert BW des Zahlungsstroms bezeichnet.

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2026.gif?width=450)


**Beispiel**

&#8226; Wie hoch sind die Barwerte der nachfolgenden Zahlungsreihen (alle Werte in &#8364;), wenn für Zahlungsreihe (ZR) I ein Zinssatz von 5% p. a. und für Zahlungsreihe II ein Zinssatz von 6% p. a. gilt?

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2027.gif?width=500)


&#8226; Erfolgt eine Aufzinsung der Differenz der jährlichen Ein- und Auszahlungen (Nettozahlungen) mit q<sup>-n</sup> (Aufzinsungsfaktor), wird der sich ergebende Betrag als Endwert E<sub>-n</sub> des Zahlungsstroms bezeichnet.

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2028.gif?width=450)


**Beispiel**

&#8226; Wie hoch sind die Endwerte der nachfolgenden Zahlungsreihen (alle Werte in &#8364;), wenn für Zahlungsreihe (ZR) I ein Zinssatz von 5% p. a. und für Zahlungsreihe II ein Zinssatz von 6% p. a. gilt?

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2029.gif?width=500)




## 2.3 Rentenrechnung

&#8226; Renten stellen regelmäßig wiederkehrende Zahlungen dar, d. h. die Dauer der Zahlungen (Rentendauer) muss mindestens über zwei Perioden gehen.



#### Merkmale der Rentenzahlungen
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2030.gif?width=500)




### 2.3.1 Konstante jährliche nachschüssige Rentenzahlungen mit jährlichen Zinsen


>>* Periodenzahlungen **identischer Höhe = Rente r**
>>* bei der nachschüssigen Rente erfolgt der Zahlungsfluss immer am Ende einer Periode und wird ab diesem Zeitpunkt über eine Laufzeit von n Jahren mit einem Jahreszinssatz i sowie Zinseszins verzinst

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2031.gif?width=300)

>>* Rentenbarwert R<sub>-0</sub> berechnet sich als Summe der Barwerte der einzelnen Rentenzahlungen

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2032.gif?width=400)

>>* bei dem Term ![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2033.gif?width=50) handelt es sich um eine Aufsummierung von Diskontierungsfaktoren
>>* Der Ausdruck ![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2034.gif?width=150) wird nachschüssiger Rentenbarwertfaktor (RBF) genannt.
>>>* Der Rentenbarwertfaktor hängt vom Zinssatz i und der Laufzeit n ab.
>>>* Der Kapitalwert entspricht dem Rentenbarwert: C<sub>0</sub> = R<sub>-0</sub>
>>* Rentenbarwert
.
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2035.gif?width=170)


>>* Rentenendwert R<sub>n</sub> = Summe aller Rentenzahlungen und ihrer zugehörigen Zinsen und Zinseszinsen am Ende der Laufzeit
>>* Rentenendwert ergibt sich als Aufzinsung des Rentenbarwertes mit der Formel der Zinsrechnung:

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2036.gif?width=350)

>>* nachschüssiger Rentenendwertfaktor (REF) wird funktional wie folgt beschrieben:

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2037.gif?width=200)



#### Berechnung der Rentenhöhe und der Laufzeit bei nachschüssiger Terminierung

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2038.gif?width=650)




### 2.3.2 Konstante jährliche vorschüssige Rentenzahlungen mit jährlichen Zinsen


>>* bisheriger Ansatz: Rentenzahlungen erfolgen jeweils am Ende eines Jahres
>>* allerdings können diese auch zu Beginn des Jahres stattfinden und werden ab diesem Zeitpunkt mit dem jeweiligen Jahreszinssatz zinseszinslich verzinst

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2039.gif?width=350)


>>* Rentenbarwert einer vorschüssig gezahlten Rente:

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2040.gif?width=300)


>>* vorschüssiger Rentenbarwertfaktor: Symbol a'<sub>n</sub>

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2041.gif?width=80)


>>* analog zum vorschüssigen Rentenbarwert hat die zeitliche Verschiebung der Zahlungen um eine Periode nach vorn, die gleiche Auswirkung auf den zugehörigen Rentenendwert
>>* der vorschüssige Rentenendwert ergibt sich somit als der um eine Periode aufgezinste nachschüssige Rentenendwert

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2042.gif?width=300)


>>* vorschüssiger Rentenbarwertfaktor: Symbol s'<sub>n</sub>

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2043.gif?width=80)



#### Berechnung der Rentenhöhe und der Laufzeit bei vorschüssiger Terminierung

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2044.gif?width=650)




### 2.3.3 Ewige Renten


>>* Wenn für die Laufzeit einer Rentenzahlung n &rArr; &infin; gilt, wird dies als ewige Rente bezeichnet. Die ewige Rente entspricht somit den Zinsen des Kapitals.
>>* Bestimmung eines Rentendwertes ist aufgrund der nie endenden Laufzeit nicht möglich
>>* Welche Auswirkung n &rArr; &infin; auf den nachschüssigen Rentenbarwert?

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2045.gif?width=350)


>>* für den Rentenbarwert R'<sub>0,&infin;</sub> einer ewigen nachschüssigen Rente folgt:

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2046.gif?width=150)


>>* wie zu sehen war, erfuhr der vorschüssige Rentenbarwert gegenüber dem nachschüssigen Ansatz die Erweiterung um eine periodische Verzinsung
>>* dies für die ewige Rente angewandt, folgt für den vorschüssigen Rentenbarwert R'<sub>0</sub>, v, &infin;:

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2047.gif?width=200)




## 2.4 Annuitätenrechnung


>>* Leitgedanke der Annuitätenrechnung besteht darin, Zahlungen gleichmäßig auf die Nutzungsjahre eines Investitionsobjektes zu verteilen
>>* Annuitätenrechnung aus Finanzierungssicht
>>>* wenn für die Durchführung einer Investition eine Schuld (Darlehen, Kredit) aufgenommen wurde, muss diese entsprechend zurückgezahlt werden
>>>* Wenn der Schuldner seine Zahlungsverpflichtungen gegenüber dem Gläubiger jeweils zum Jahresende in gleich bleibenden Beträgen leistet, heißen diese (Schuld-)Annuitäten.



#### Annuitätendarlehen

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2048.gif?width=600)


>>* Annuitätenrechnung aus Investorensicht
>>>* bei der Durchführung einer Investition sind die beteiligten Investoren oft nicht an Einmalzahlungen interessiert, d. h. der Entnahme des positiven Bar- oder Endwertes, sondern an jährlichen Zahlungen über die gesamte Laufzeit

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2049.gif?width=300)


>>>* da am Ende der Laufzeit der Endwert E<sub>n</sub> = 0 ist, ergibt sich für die Annuität:

![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2050.gif?width=550)


>>>* Äquivalente jährliche Zahlungen in konstanter oder wachsender Höhe - die neben Zins und Tilgung in jeder Periode zur Verfügung stehen - heißen Gewinnannuitäten oder nur Annuitäten.
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## 2.1 Finanzmathematische Grundlagen
### 2.1.1 Einfache Verzinsung
>>* Zinsen sind die Vergrößerung eines Betrages in einer bestimmten definierten Zeit, der Zinsperiode
>>* **Maß der Verzinsung** ist durch den **Zinssatz**gegeben
>>* wegen der anzutreffenden unterschiedlichen Zinszuschreibungsmodalitäten resultieren aus einem bestimmten nominellen Jahreszinssatz durchaus verschiedene s. g. **effektive Jahreszinssätze**
>>* bei Zinsrechnungen werden Zahlungen auf einen einheitlichen Zeitpunkt bezogen und zu diesem Zeitpunkt verglichen
>>>* entweder zum Zeitpunkt t<sub>0</sub> oder zum Ende der Zinsvereinbarung (Zeitpunkt n), d. h. nach n Perioden
>>* wird im Zeitraum t<sub>0</sub> ein Betrag K<sub>0</sub> zur Verfügung gestellt, so sind die zu zahlenden Zinsen Z proportional zur Zeit t und proportional zum Kapital K<sub>0</sub>
>>* der Proportionalitätsfaktor heißt Zinssatz i (Einheit % p. a.)
>>* Wenn die Zinsen am Ende des Zeitraumes dem Kapital zugeschlagen werden, dann beträgt das Kapital nach n Jahren:
>>* K<subn</sub> = K<sub>0</sub> + (K<sub>0</sub> * i) + ... + (K<sub>0</sub> * i) = K<sub>0</sub> + (K<sub>0</sub> * i * n) = K<sub>0</sub> * (1 + i * n)
>>* n = Anzahl der Perioden
>>* i = Jahreszinssatz
>>* die Zinsen können auch in Abhängigkeit von der Zahl der Tage T angeben werden, wobei das Jahr im allgemeinen zur rechnerischen Vereinfachung 360 Tage gerechnet wird T = Zahl der Tage; 1 Jahr = 360 Tage
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2008.gif?width=150)
### 2.1.2 Zinseszinsrechnung
#### Jährliche Zinszuschreibung
>>* ein zum Zeitpunkt t<sub>0</sub> verfügbarer Kapitalbetrag K<sub>0</sub> werde zum Zinssatz i angelegt, der als Jahreszinssatz definiert ist.
>>* nach genau 1 Jahr und der entsprechenden Zinszuschreibung ist der Kapitalbetrag K<sub>1</sub> vorhanden mit
>>>* K<sub>1</sub> = K<sub>0</sub> + i * K<sub>0</sub> = K<sub>0</sub> * (1 + i)
>>* nach genau 2 Jahren beträgt der vorhandene Kapitalbetrag K<sub>2</sub>
>>>* K<sub>2</sub> = K<sub>1</sub> + i * K<sub>1</sub> = K<sub>1</sub> * (1+i) = K<sub>0</sub> * (1 + i)<sup>2</sup>
>>* nach genau n Jahren ist der Betrag K<sub>n</sub> vorhanden mit
>>>* K<sub>n</sub> = K<sub>n-1</sub> + i * K<sub>n-1</sub> = K<sub>n-1</sub> * (1 + i) = K<sub>0</sub> * (1 + i)<sup>n</sup>
>>* nach einer Anlagedauer von n Jahren ergibt sich ein nach dieser Zeit erzielter, zum Zeitpunkt n vorliegender Endwert E<sub>n</sub> in Abhängigkeit von der Größe n des Betrachtungszeitraumes zu
>>>* E<sub>n</sub> = K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> * (1 + i)<sup>n</sup> = K<sub>0</sub> * q<sup>n</sup>
**Beispiel:**
>>* Bezogen auf die Geldanlage (Sparbrief) beträgt der Endwert E<sub>2</sub>
>>* E<sub>2</sub> = K<sub>2</sub> = 1.000 * (1 + 0,05)<sup>2</sup> = **1.102,50**
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2009.gif?width=500)
_Aufzinsung in der Kaufmännischen Verzinsung_
>>* Auflösung der Zinsformel nach dem Betrag K<sub>0</sub> erlaubt den Vergleich der gleichwertigen Investitionssummen &rArr; Formel für den "Barwert" eines in der Zukunft fälligen Betrages:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2010.gif?width=200)
>>* Bei der Abzinsung (= Diskontierung) liegt die Fragestellung zugrunde, wie viel ein Kapitalbetrag K<sub>n</sub>, der am Ende des Jahres n anfällt, zu Beginn des Planungszeitraums wert ist.
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2011.gif?width=500)
_Abzinsung in der Kaufmännischen Verzinsung_
Um bei gegebenem Zinssatz i die Dauer n zu ermitteln, verwendet man folgende Beziehung:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2012.gif?width=200)
Die Verzinsung i, die bei einer bestimmten Laufzeit n notwendig ist, um von K<sub>0</sub> aus K<sub>n</sub> zu erreichen, kann folgendermaßen ermittelt werden:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2013.gif?width=200)
#### Unterjährige Verzinsung
>>* Begriffe werden gern durcheinander gebracht!
>>* wenn bei Zinseszinsrechnungen der Zuschlag der angelaufenen Zinsen auf das Kapital zu mehreren Terminen gleichen Abstandes im Jahr erfolgt &rArr; **unterjähriger Verzinsung**
>>* **relativen unterjährigen Zinssatz** i<sub>rel</sub> &rArr; Jahreszins i wird in so viele Teile m geteilt, wie Termine pro Jahr gesetzt sind
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2014.gif?width=80)
>>* Der Jahreszinssatz i ist dann nicht mehr wirksam und wird daher als **nominelle Verzinsung** dieses Jahres bezeichnet. Die **effektive Verzinsung** i<sub>eff</sub> ergibt z. B. bei zwei Terminen pro Jahr:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2015.gif?width=200)
>>* Bei m Terminen gilt: ![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2016.gif?width=200)
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2017.gif?width=200)
>>* Dieses K<sub>n</sub> ist größer als das entsprechende bei jährlichem Zinszuschlag.
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2018.gif?width=200)
Anwendung des relativen unterjährigen Zinssatzes i<sub>rel</sub> ergibt gegenüber dem **nominellen Zinssatz** i eine höhere **effektive Jahresverzinsung** i<sub>eff</sub>
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2019.gif?width=150)
Ermittlung des nominellen Zinssatzes aus der effektiven Jahresverzinsung:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2020.gif?width=400)
#### Gemischte Verzinsung
>>* wenn der Verzinsungszeitraum nicht nur aus ganzen Berechnungsperioden (Jahren) besteht, sondern auch aus Bruchteilen davon &rArr; gemischte Verzinsung vorgenommen
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2021.gif?width=180)
>>* Liegen die unvollständigen Zinsperioden am Anfang und am Ende der Laufzeit, ergibt sich folgende Berechnung:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2022.gif?width=260)
>>* Die Ermittlung des Barwertes K<sub>0</sub> ergibt sich bei gemischter Verzinsung demzufolge als:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2023.gif?width=150)
#### Stetige Verzinsung
>>* Bei gleichem Nominalzinssatz steigt die effektive Verzinsung mit der Häufigkeit der unterjährigen Zinstermine.
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2024.gif?width=250)
>>* für möglichst hohe Verzinsung &rArr; sehr weitgehende Aufteilung der Zinsperiode anstreben
>>>* K<sub>1</sub> wird maximal für m &rArr; &infin;; m = unterjährige Zinstermine
>>* wenn m &rArr; &infin; gesetzt wird, dann folgt:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2025.gif?width=400)
>>* effektiver Jahreszins i<sub>eff</sub> bei stetiger Verzinsung:
>>* K<sub>0</sub> * (1 + i<sub>eff</sub>) = K<sub>1</sub> * e<sup>i</sup>
>>* 1 + i<sub>eff</sub> = e<sup>i</sup>
>>* i<sub>eff</sub> = e<sup>i</sup> - 1
**Beispiel**
&#8226; Welchen Betrag besitzt ein Guthaben von 1.000 &#8364; nach Ablauf eines Jahres, wenn es
a) jährlich mit 12 %,
b) vierteljährlich mit 3 %,
c) monatlich mit 1 %,
d) an 360 Zinstagen täglich mit 12/360 %,
e) stetig mit einer Momentanverzinsung von 12 % verzinst wird?
## 2.2 Barwert und Endwert
>>* Kapitalbeträge zum Zeitpunkt t = 0 durch Auf-(Ver-)zinsung zu einem Endwert in t = n überführt oder aus einem Endkapital durch Abzinsung (Diskontierung) das Anfangskapital ermittelt werden
>>* unterschiedliche Anlage- oder Kreditformen können miteinander verglichen werden &rArr; nicht nur einzelne Zahlungen sondern auch Zahlungsströme
>>* Ein Zahlungsstrom ist dadurch charakterisiert, dass zum Zeitpunkt t Einzahlungen E<sub>t</sub> und/oder Auszahlungen A<sub>t</sub> erfolgen, die als Periodenüberschuss (periodische Nettozahlung) P<sub>t</sub> zusammengefasst werden können.
>>* Erfolgt die Diskontierung der Differenz der periodischen Ein- und Auszahlungen mit q<sup>-n</sup> (Diskontierungsfaktor) auf einen Bezugszeitpunkt, wird dieser Betrag als Barwert BW des Zahlungsstroms bezeichnet.
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2026.gif?width=450)
**Beispiel**
&#8226; Wie hoch sind die Barwerte der nachfolgenden Zahlungsreihen (alle Werte in &#8364;), wenn für Zahlungsreihe (ZR) I ein Zinssatz von 5% p. a. und für Zahlungsreihe II ein Zinssatz von 6% p. a. gilt?
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2027.gif?width=500)
&#8226; Erfolgt eine Aufzinsung der Differenz der jährlichen Ein- und Auszahlungen (Nettozahlungen) mit q<sup>-n</sup> (Aufzinsungsfaktor), wird der sich ergebende Betrag als Endwert E<sub>-n</sub> des Zahlungsstroms bezeichnet.
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2028.gif?width=450)
**Beispiel**
&#8226; Wie hoch sind die Endwerte der nachfolgenden Zahlungsreihen (alle Werte in &#8364;), wenn für Zahlungsreihe (ZR) I ein Zinssatz von 5% p. a. und für Zahlungsreihe II ein Zinssatz von 6% p. a. gilt?
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2029.gif?width=500)
## 2.3 Rentenrechnung
&#8226; Renten stellen regelmäßig wiederkehrende Zahlungen dar, d. h. die Dauer der Zahlungen (Rentendauer) muss mindestens über zwei Perioden gehen.
#### Merkmale der Rentenzahlungen
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2030.gif?width=500)
### 2.3.1 Konstante jährliche nachschüssige Rentenzahlungen mit jährlichen Zinsen
>>* Periodenzahlungen **identischer Höhe = Rente r**
>>* bei der nachschüssigen Rente erfolgt der Zahlungsfluss immer am Ende einer Periode und wird ab diesem Zeitpunkt über eine Laufzeit von n Jahren mit einem Jahreszinssatz i sowie Zinseszins verzinst
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2031.gif?width=300)
>>* Rentenbarwert R<sub>-0</sub> berechnet sich als Summe der Barwerte der einzelnen Rentenzahlungen
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2032.gif?width=400)
>>* bei dem Term ![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2033.gif?width=50) handelt es sich um eine Aufsummierung von Diskontierungsfaktoren
>>* Der Ausdruck ![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2034.gif?width=150) wird nachschüssiger Rentenbarwertfaktor (RBF) genannt.
>>>* Der Rentenbarwertfaktor hängt vom Zinssatz i und der Laufzeit n ab.
>>>* Der Kapitalwert entspricht dem Rentenbarwert: C<sub>0</sub> = R<sub>-0</sub>
>>* Rentenbarwert
.
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2035.gif?width=170)
>>* Rentenendwert R<sub>n</sub> = Summe aller Rentenzahlungen und ihrer zugehörigen Zinsen und Zinseszinsen am Ende der Laufzeit
>>* Rentenendwert ergibt sich als Aufzinsung des Rentenbarwertes mit der Formel der Zinsrechnung:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2036.gif?width=350)
>>* nachschüssiger Rentenendwertfaktor (REF) wird funktional wie folgt beschrieben:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2037.gif?width=200)
#### Berechnung der Rentenhöhe und der Laufzeit bei nachschüssiger Terminierung
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2038.gif?width=650)
### 2.3.2 Konstante jährliche vorschüssige Rentenzahlungen mit jährlichen Zinsen
>>* bisheriger Ansatz: Rentenzahlungen erfolgen jeweils am Ende eines Jahres
>>* allerdings können diese auch zu Beginn des Jahres stattfinden und werden ab diesem Zeitpunkt mit dem jeweiligen Jahreszinssatz zinseszinslich verzinst
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2039.gif?width=350)
>>* Rentenbarwert einer vorschüssig gezahlten Rente:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2040.gif?width=300)
>>* vorschüssiger Rentenbarwertfaktor: Symbol a'<sub>n</sub>
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2041.gif?width=80)
>>* analog zum vorschüssigen Rentenbarwert hat die zeitliche Verschiebung der Zahlungen um eine Periode nach vorn, die gleiche Auswirkung auf den zugehörigen Rentenendwert
>>* der vorschüssige Rentenendwert ergibt sich somit als der um eine Periode aufgezinste nachschüssige Rentenendwert
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2042.gif?width=300)
>>* vorschüssiger Rentenbarwertfaktor: Symbol s'<sub>n</sub>
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2043.gif?width=80)
#### Berechnung der Rentenhöhe und der Laufzeit bei vorschüssiger Terminierung
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2044.gif?width=650)
### 2.3.3 Ewige Renten
>>* Wenn für die Laufzeit einer Rentenzahlung n &rArr; &infin; gilt, wird dies als ewige Rente bezeichnet. Die ewige Rente entspricht somit den Zinsen des Kapitals.
>>* Bestimmung eines Rentendwertes ist aufgrund der nie endenden Laufzeit nicht möglich
>>* Welche Auswirkung n &rArr; &infin; auf den nachschüssigen Rentenbarwert?
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2045.gif?width=350)
>>* für den Rentenbarwert R'<sub>0,&infin;</sub> einer ewigen nachschüssigen Rente folgt:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2046.gif?width=150)
>>* wie zu sehen war, erfuhr der vorschüssige Rentenbarwert gegenüber dem nachschüssigen Ansatz die Erweiterung um eine periodische Verzinsung
>>* dies für die ewige Rente angewandt, folgt für den vorschüssigen Rentenbarwert R'<sub>0</sub>, v, &infin;:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2047.gif?width=200)
## 2.4 Annuitätenrechnung
>>* Leitgedanke der Annuitätenrechnung besteht darin, Zahlungen gleichmäßig auf die Nutzungsjahre eines Investitionsobjektes zu verteilen
>>* Annuitätenrechnung aus Finanzierungssicht
>>>* wenn für die Durchführung einer Investition eine Schuld (Darlehen, Kredit) aufgenommen wurde, muss diese entsprechend zurückgezahlt werden
>>>* Wenn der Schuldner seine Zahlungsverpflichtungen gegenüber dem Gläubiger jeweils zum Jahresende in gleich bleibenden Beträgen leistet, heißen diese (Schuld-)Annuitäten.
#### Annuitätendarlehen
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2048.gif?width=600)
>>* Annuitätenrechnung aus Investorensicht
>>>* bei der Durchführung einer Investition sind die beteiligten Investoren oft nicht an Einmalzahlungen interessiert, d. h. der Entnahme des positiven Bar- oder Endwertes, sondern an jährlichen Zahlungen über die gesamte Laufzeit
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2049.gif?width=300)
>>>* da am Ende der Laufzeit der Endwert E<sub>n</sub> = 0 ist, ergibt sich für die Annuität:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2050.gif?width=550)
>>>* Äquivalente jährliche Zahlungen in konstanter oder wachsender Höhe - die neben Zins und Tilgung in jeder Periode zur Verfügung stehen - heißen Gewinnannuitäten oder nur Annuitäten.
***
CategoryBwl2&rArr;
Revision [6a5cf18]
Bearbeitet am 2013-08-27 19:58:08 von RonnyGertler
DELETIONS
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ADDITIONS
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/BMBF_Logo_klein.jpg?width=200)
# Betriebswirtschaftslehre 2 - Investitionsrechnung und Finanzierung - Kapitel 2 - Finanzmathematische Grundlagen
_<span class="right">Inhalte von Prof. Dr. Thomas Urban</p>_
<a href="http://www.multi-media-marketing.org" class="right" target="_blank">www.multi-media-marketing.org</a>
## 2.1 Finanzmathematische Grundlagen
### 2.1.1 Einfache Verzinsung
>>* Zinsen sind die Vergrößerung eines Betrages in einer bestimmten definierten Zeit, der Zinsperiode
>>* **Maß der Verzinsung** ist durch den **Zinssatz**gegeben
>>* wegen der anzutreffenden unterschiedlichen Zinszuschreibungsmodalitäten resultieren aus einem bestimmten nominellen Jahreszinssatz durchaus verschiedene s. g. **effektive Jahreszinssätze**
>>* bei Zinsrechnungen werden Zahlungen auf einen einheitlichen Zeitpunkt bezogen und zu diesem Zeitpunkt verglichen
>>>* entweder zum Zeitpunkt t<sub>0</sub> oder zum Ende der Zinsvereinbarung (Zeitpunkt n), d. h. nach n Perioden
>>* wird im Zeitraum t<sub>0</sub> ein Betrag K<sub>0</sub> zur Verfügung gestellt, so sind die zu zahlenden Zinsen Z proportional zur Zeit t und proportional zum Kapital K<sub>0</sub>
>>* der Proportionalitätsfaktor heißt Zinssatz i (Einheit % p. a.)
>>* Wenn die Zinsen am Ende des Zeitraumes dem Kapital zugeschlagen werden, dann beträgt das Kapital nach n Jahren:
>>* K<subn</sub> = K<sub>0</sub> + (K<sub>0</sub> * i) + ... + (K<sub>0</sub> * i) = K<sub>0</sub> + (K<sub>0</sub> * i * n) = K<sub>0</sub> * (1 + i * n)
>>* n = Anzahl der Perioden
>>* i = Jahreszinssatz
>>* die Zinsen können auch in Abhängigkeit von der Zahl der Tage T angeben werden, wobei das Jahr im allgemeinen zur rechnerischen Vereinfachung 360 Tage gerechnet wird T = Zahl der Tage; 1 Jahr = 360 Tage
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2008.gif?width=150)
### 2.1.2 Zinseszinsrechnung
#### Jährliche Zinszuschreibung
>>* ein zum Zeitpunkt t<sub>0</sub> verfügbarer Kapitalbetrag K<sub>0</sub> werde zum Zinssatz i angelegt, der als Jahreszinssatz definiert ist.
>>* nach genau 1 Jahr und der entsprechenden Zinszuschreibung ist der Kapitalbetrag K<sub>1</sub> vorhanden mit
>>>* K<sub>1</sub> = K<sub>0</sub> + i * K<sub>0</sub> = K<sub>0</sub> * (1 + i)
>>* nach genau 2 Jahren beträgt der vorhandene Kapitalbetrag K<sub>2</sub>
>>>* K<sub>2</sub> = K<sub>1</sub> + i * K<sub>1</sub> = K<sub>1</sub> * (1+i) = K<sub>0</sub> * (1 + i)<sup>2</sup>
>>* nach genau n Jahren ist der Betrag K<sub>n</sub> vorhanden mit
>>>* K<sub>n</sub> = K<sub>n-1</sub> + i * K<sub>n-1</sub> = K<sub>n-1</sub> * (1 + i) = K<sub>0</sub> * (1 + i)<sup>n</sup>
>>* nach einer Anlagedauer von n Jahren ergibt sich ein nach dieser Zeit erzielter, zum Zeitpunkt n vorliegender Endwert E<sub>n</sub> in Abhängigkeit von der Größe n des Betrachtungszeitraumes zu
>>>* E<sub>n</sub> = K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> * (1 + i)<sup>n</sup> = K<sub>0</sub> * q<sup>n</sup>
**Beispiel:**
>>* Bezogen auf die Geldanlage (Sparbrief) beträgt der Endwert E<sub>2</sub>
>>* E<sub>2</sub> = K<sub>2</sub> = 1.000 * (1 + 0,05)<sup>2</sup> = **1.102,50**
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2009.gif?width=500)
_Aufzinsung in der Kaufmännischen Verzinsung_
>>* Auflösung der Zinsformel nach dem Betrag K<sub>0</sub> erlaubt den Vergleich der gleichwertigen Investitionssummen &rArr; Formel für den "Barwert" eines in der Zukunft fälligen Betrages:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2010.gif?width=200)
>>* Bei der Abzinsung (= Diskontierung) liegt die Fragestellung zugrunde, wie viel ein Kapitalbetrag K<sub>n</sub>, der am Ende des Jahres n anfällt, zu Beginn des Planungszeitraums wert ist.
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2011.gif?width=500)
_Abzinsung in der Kaufmännischen Verzinsung_
Um bei gegebenem Zinssatz i die Dauer n zu ermitteln, verwendet man folgende Beziehung:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2012.gif?width=200)
Die Verzinsung i, die bei einer bestimmten Laufzeit n notwendig ist, um von K<sub>0</sub> aus K<sub>n</sub> zu erreichen, kann folgendermaßen ermittelt werden:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2013.gif?width=200)
#### Unterjährige Verzinsung
>>* Begriffe werden gern durcheinander gebracht!
>>* wenn bei Zinseszinsrechnungen der Zuschlag der angelaufenen Zinsen auf das Kapital zu mehreren Terminen gleichen Abstandes im Jahr erfolgt &rArr; **unterjähriger Verzinsung**
>>* **relativen unterjährigen Zinssatz** i<sub>rel</sub> &rArr; Jahreszins i wird in so viele Teile m geteilt, wie Termine pro Jahr gesetzt sind
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2014.gif?width=80)
>>* Der Jahreszinssatz i ist dann nicht mehr wirksam und wird daher als **nominelle Verzinsung** dieses Jahres bezeichnet. Die **effektive Verzinsung** i<sub>eff</sub> ergibt z. B. bei zwei Terminen pro Jahr:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2015.gif?width=200)
>>* Bei m Terminen gilt: ![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2016.gif?width=200)
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2017.gif?width=200)
>>* Dieses K<sub>n</sub> ist größer als das entsprechende bei jährlichem Zinszuschlag.
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2018.gif?width=200)
Anwendung des relativen unterjährigen Zinssatzes i<sub>rel</sub> ergibt gegenüber dem **nominellen Zinssatz** i eine höhere **effektive Jahresverzinsung** i<sub>eff</sub>
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2019.gif?width=150)
Ermittlung des nominellen Zinssatzes aus der effektiven Jahresverzinsung:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2020.gif?width=400)
#### Gemischte Verzinsung
>>* wenn der Verzinsungszeitraum nicht nur aus ganzen Berechnungsperioden (Jahren) besteht, sondern auch aus Bruchteilen davon &rArr; gemischte Verzinsung vorgenommen
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2021.gif?width=180)
>>* Liegen die unvollständigen Zinsperioden am Anfang und am Ende der Laufzeit, ergibt sich folgende Berechnung:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2022.gif?width=260)
>>* Die Ermittlung des Barwertes K<sub>0</sub> ergibt sich bei gemischter Verzinsung demzufolge als:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2023.gif?width=150)
#### Stetige Verzinsung
>>* Bei gleichem Nominalzinssatz steigt die effektive Verzinsung mit der Häufigkeit der unterjährigen Zinstermine.
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2024.gif?width=250)
>>* für möglichst hohe Verzinsung &rArr; sehr weitgehende Aufteilung der Zinsperiode anstreben
>>>* K<sub>1</sub> wird maximal für m &rArr; &infin;; m = unterjährige Zinstermine
>>* wenn m &rArr; &infin; gesetzt wird, dann folgt:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2025.gif?width=400)
>>* effektiver Jahreszins i<sub>eff</sub> bei stetiger Verzinsung:
>>* K<sub>0</sub> * (1 + i<sub>eff</sub>) = K<sub>1</sub> * e<sup>i</sup>
>>* 1 + i<sub>eff</sub> = e<sup>i</sup>
>>* i<sub>eff</sub> = e<sup>i</sup> - 1
**Beispiel**
&#8226; Welchen Betrag besitzt ein Guthaben von 1.000 &#8364; nach Ablauf eines Jahres, wenn es
a) jährlich mit 12 %,
b) vierteljährlich mit 3 %,
c) monatlich mit 1 %,
d) an 360 Zinstagen täglich mit 12/360 %,
e) stetig mit einer Momentanverzinsung von 12 % verzinst wird?
## 2.2 Barwert und Endwert
>>* Kapitalbeträge zum Zeitpunkt t = 0 durch Auf-(Ver-)zinsung zu einem Endwert in t = n überführt oder aus einem Endkapital durch Abzinsung (Diskontierung) das Anfangskapital ermittelt werden
>>* unterschiedliche Anlage- oder Kreditformen können miteinander verglichen werden &rArr; nicht nur einzelne Zahlungen sondern auch Zahlungsströme
>>* Ein Zahlungsstrom ist dadurch charakterisiert, dass zum Zeitpunkt t Einzahlungen E<sub>t</sub> und/oder Auszahlungen A<sub>t</sub> erfolgen, die als Periodenüberschuss (periodische Nettozahlung) P<sub>t</sub> zusammengefasst werden können.
>>* Erfolgt die Diskontierung der Differenz der periodischen Ein- und Auszahlungen mit q<sup>-n</sup> (Diskontierungsfaktor) auf einen Bezugszeitpunkt, wird dieser Betrag als Barwert BW des Zahlungsstroms bezeichnet.
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2026.gif?width=450)
**Beispiel**
&#8226; Wie hoch sind die Barwerte der nachfolgenden Zahlungsreihen (alle Werte in &#8364;), wenn für Zahlungsreihe (ZR) I ein Zinssatz von 5% p. a. und für Zahlungsreihe II ein Zinssatz von 6% p. a. gilt?
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2027.gif?width=500)
&#8226; Erfolgt eine Aufzinsung der Differenz der jährlichen Ein- und Auszahlungen (Nettozahlungen) mit q<sup>-n</sup> (Aufzinsungsfaktor), wird der sich ergebende Betrag als Endwert E<sub>-n</sub> des Zahlungsstroms bezeichnet.
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2028.gif?width=450)
**Beispiel**
&#8226; Wie hoch sind die Endwerte der nachfolgenden Zahlungsreihen (alle Werte in &#8364;), wenn für Zahlungsreihe (ZR) I ein Zinssatz von 5% p. a. und für Zahlungsreihe II ein Zinssatz von 6% p. a. gilt?
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2029.gif?width=500)
## 2.3 Rentenrechnung
&#8226; Renten stellen regelmäßig wiederkehrende Zahlungen dar, d. h. die Dauer der Zahlungen (Rentendauer) muss mindestens über zwei Perioden gehen.
#### Merkmale der Rentenzahlungen
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2030.gif?width=500)
### 2.3.1 Konstante jährliche nachschüssige Rentenzahlungen mit jährlichen Zinsen
>>* Periodenzahlungen **identischer Höhe = Rente r**
>>* bei der nachschüssigen Rente erfolgt der Zahlungsfluss immer am Ende einer Periode und wird ab diesem Zeitpunkt über eine Laufzeit von n Jahren mit einem Jahreszinssatz i sowie Zinseszins verzinst
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2031.gif?width=300)
>>* Rentenbarwert R<sub>-0</sub> berechnet sich als Summe der Barwerte der einzelnen Rentenzahlungen
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2032.gif?width=400)
>>* bei dem Term ![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2033.gif?width=50) handelt es sich um eine Aufsummierung von Diskontierungsfaktoren
>>* Der Ausdruck ![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2034.gif?width=150) wird nachschüssiger Rentenbarwertfaktor (RBF) genannt.
>>>* Der Rentenbarwertfaktor hängt vom Zinssatz i und der Laufzeit n ab.
>>>* Der Kapitalwert entspricht dem Rentenbarwert: C<sub>0</sub> = R<sub>-0</sub>
>>* Rentenbarwert
.
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2035.gif?width=170)
>>* Rentenendwert R<sub>n</sub> = Summe aller Rentenzahlungen und ihrer zugehörigen Zinsen und Zinseszinsen am Ende der Laufzeit
>>* Rentenendwert ergibt sich als Aufzinsung des Rentenbarwertes mit der Formel der Zinsrechnung:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2036.gif?width=350)
>>* nachschüssiger Rentenendwertfaktor (REF) wird funktional wie folgt beschrieben:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2037.gif?width=200)
#### Berechnung der Rentenhöhe und der Laufzeit bei nachschüssiger Terminierung
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2038.gif?width=650)
### 2.3.2 Konstante jährliche vorschüssige Rentenzahlungen mit jährlichen Zinsen
>>* bisheriger Ansatz: Rentenzahlungen erfolgen jeweils am Ende eines Jahres
>>* allerdings können diese auch zu Beginn des Jahres stattfinden und werden ab diesem Zeitpunkt mit dem jeweiligen Jahreszinssatz zinseszinslich verzinst
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2039.gif?width=350)
>>* Rentenbarwert einer vorschüssig gezahlten Rente:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2040.gif?width=300)
>>* vorschüssiger Rentenbarwertfaktor: Symbol a'<sub>n</sub>
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2041.gif?width=80)
>>* analog zum vorschüssigen Rentenbarwert hat die zeitliche Verschiebung der Zahlungen um eine Periode nach vorn, die gleiche Auswirkung auf den zugehörigen Rentenendwert
>>* der vorschüssige Rentenendwert ergibt sich somit als der um eine Periode aufgezinste nachschüssige Rentenendwert
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2042.gif?width=300)
>>* vorschüssiger Rentenbarwertfaktor: Symbol s'<sub>n</sub>
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2043.gif?width=80)
#### Berechnung der Rentenhöhe und der Laufzeit bei vorschüssiger Terminierung
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2044.gif?width=650)
### 2.3.3 Ewige Renten
>>* Wenn für die Laufzeit einer Rentenzahlung n &rArr; &infin; gilt, wird dies als ewige Rente bezeichnet. Die ewige Rente entspricht somit den Zinsen des Kapitals.
>>* Bestimmung eines Rentendwertes ist aufgrund der nie endenden Laufzeit nicht möglich
>>* Welche Auswirkung n &rArr; &infin; auf den nachschüssigen Rentenbarwert?
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2045.gif?width=350)
>>* für den Rentenbarwert R'<sub>0,&infin;</sub> einer ewigen nachschüssigen Rente folgt:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2046.gif?width=150)
>>* wie zu sehen war, erfuhr der vorschüssige Rentenbarwert gegenüber dem nachschüssigen Ansatz die Erweiterung um eine periodische Verzinsung
>>* dies für die ewige Rente angewandt, folgt für den vorschüssigen Rentenbarwert R'<sub>0</sub>, v, &infin;:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2047.gif?width=200)
## 2.4 Annuitätenrechnung
>>* Leitgedanke der Annuitätenrechnung besteht darin, Zahlungen gleichmäßig auf die Nutzungsjahre eines Investitionsobjektes zu verteilen
>>* Annuitätenrechnung aus Finanzierungssicht
>>>* wenn für die Durchführung einer Investition eine Schuld (Darlehen, Kredit) aufgenommen wurde, muss diese entsprechend zurückgezahlt werden
>>>* Wenn der Schuldner seine Zahlungsverpflichtungen gegenüber dem Gläubiger jeweils zum Jahresende in gleich bleibenden Beträgen leistet, heißen diese (Schuld-)Annuitäten.
#### Annuitätendarlehen
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2048.gif?width=600)
>>* Annuitätenrechnung aus Investorensicht
>>>* bei der Durchführung einer Investition sind die beteiligten Investoren oft nicht an Einmalzahlungen interessiert, d. h. der Entnahme des positiven Bar- oder Endwertes, sondern an jährlichen Zahlungen über die gesamte Laufzeit
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2049.gif?width=300)
>>>* da am Ende der Laufzeit der Endwert E<sub>n</sub> = 0 ist, ergibt sich für die Annuität:
![image](/uploads/Bwl202FinanzmathematischeGrundlagen/bwl2050.gif?width=550)
>>>* Äquivalente jährliche Zahlungen in konstanter oder wachsender Höhe - die neben Zins und Tilgung in jeder Periode zur Verfügung stehen - heißen Gewinnannuitäten oder nur Annuitäten.
***
CategoryBwl2&rArr;