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Tutorium Statistik


2. Deskriptive Statistik


Grundbegriffe

n: Umfang der Stichprobe
xi: Merkmalsausprägungen
hi: absolute Häufigkeit
fi: relative Häufigkeit
Hi: absolute Summenhäufigkeit
Fi: relative Summenhäufigkeit
Mo: Modus
MF: Median
̄ X: Arithmetische Mittel
G: Geometrische Mittel
s^2: Varianz
s =±√(s^2)
R: Spannweite

Formelsammlung: S. 46 – 51

Übungsaufgaben:

(1) Die Untersuchung des Gewichtes von 20 korpulenten Katzen folgende Werte in kg:
5,3; 6,2; 5,8; 5,3; 5,8; 4,9; 5,3; 5,3; 5,8; 4,9
5,5; 6,1; 5,8; 4,8; 5,2; 5,3; 6,1; 4,9; 5,2; 5,3

a) Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle, mit all den Ihnen bekannten Formen der
Häufigkeit.
b) Ermitteln Sie das arithmetische Mittel, Median und Modus.
c) Ermitteln Sie die Streuung.
d) Geben Sie die Spannweite der Untersuchung an.

Lösungen
a)

FS S.49 Häufigkeiten
xi hi fi Hi Fi
4,8 1 5,00% 1 5,00
4,9 3 15,00% 4 20,00%
5,2 2 10,00% 6 30,00%
5,3 6 30,00% 12 60,00%
5,5 1 5,00% 13 65,00%
5,8 4 20,00% 17 85,00%
6,1 2 10,00% 19 95,00%
6,2 1 5,00% 20 100,00%



b)
Modus:…; Merkmalsausprägung mit größten absoluten bzw. relativen Häufigkeit
Mo=5,3 , da h5,3=6 bzw. f5,3=30 %
FS S.46 Modus

Median:…; Merkmalsausprägung bei der die relative Summenhäufigkeit 50% überschreitet.
Me=5,3 , da F5,3=60 % und F5,2=30 %
FS S.46 Median

arithmetisches Mittel:
̄ X =1/n*∑(von i=1bis k)xi*hi=∑(von i=1bis k)xi*fi
̄ X =1/20* ( 1 ∗4,8+ 3 ∗4,9 + 2∗4,9 + 6 ∗5,3+ 1 ∗5,5 + 4∗5,8+ 2 ∗6,1+ 1 ∗6,2)
̄ X =5,44 kg
FS S.47 arithmetisches Mittel

c)
Streuung:
s^2=1/(n-1)*((∑xi^2 wobei ∑ von i=1 bis k)-n* ̄X^2)
∑xi^2 wobei ∑ von i=1 bis k=4,8^2+3*4,9^2+2*4,9^2+6*5,3^2+5,5^2+5*5,8+2*6,1+6,2^2
∑xi^2 wobei ∑ von i=1 bis k=595,36

s^2=1/19*(595,36-20*5,44^2)
s^2=0,1836kg^2
s =±√ s^2
s =±0,4285 kg
FS S.48 Stichprobenvarianz

d)
Spannweite:
R= xmax− xmin
R=6,2 − 4,8
R=1,4 kg
FS S.47 Spannweite

(2) Bei einer Prüfung wurden folgende Punktzahlen erzielt:
7, 3, 4, 2, 8, 6, 5, 3, 7, 3, 7

Ermitteln Sie
a) Die durchschnittliche Punktzahl mit Hilfe von Median und arithmetischen Mittel.
b) Spannweite.
c) Standardabweichung.

Lösung

a)
Median:
Me=5

arithmetisches Mittel:
̄ X =5 kg

b)
Spannweite:
R=6 Punkte

c)
Standardabweichung:
1. s =±2,1 Punkte
2. σ=±2 Punkte

(3) An der Kasse eines Lebensmittelmarktes wurden die Rechnungsbeträge der Kunden erfasst.
Dabei ergab sich folgende Verteilung:

0 – 10 Euro: 16
10 – 20 Euro: 48
20 – 40 Euro: 27
40 – 80 Euro: 9

a) – c) Diese Teilaufgaben wurden in der Vorlesung nicht gelöst, da sie bereits Bestandteil
der Vorlesung waren.
d) Ermitteln Sie das arithmetische Mittel, Median und Modus.

d)
Modus:…; Klassenmitte der Klasse mit größten absoluten bzw. relativen Häufigkeit.
Mo=15 , da h( 10−20)= 48
FS S.46 Modus

Median:…; Klassenmitte der Klasse, in der die relative Summenhäufigkeit genau 50% beträgt oder zur Berechnung die folgende Formel.

Me=xu+ (((50%-Fi(xu)))/((F(xo)-F(xu))))*(xo-xu)
Me=10+((50%-16%)/(64%-16%))*(20-10)
Me=17,083
FS S.46 Median

arithmetisches Mittel:
̄̄X =1/n*∑xi'∗hi=∑xi'∗ fi wobei ∑von i=i bis k
̄ X =5 *0,16*15 *0,48 +30*0,27 +60*0,09
̄ X =21,5 kg
FS S.47 arithmetisches Mittel

(4) Eine Befragung von Studenten nach den monatlichen Ausgaben für Alkohol ergab folgendes
Ergebnis:

30 – 40 Euro:10 fi in %
40 – 50 Euro:20 fi in %
50 – 60 Euro:20 fi in %
60 – 70 Euro:40 fi in %
70 – 80 Euro:10 fi in %

Bestimmen Sie die durchschnittlichen Ausgaben.

Lösung:

Mo=65 €
Me=55 €
̄ X =57 €

FS S.46 Modus
FS S.46 Median
FS S.47 Arithmetisches Mittel

(5) Weitere Übungsaufgaben:
Weitere Übungsaufgaben zu diesem Kapitel sind erhältlich im „share“-Ordner der Fakultät
Wirtschaft im Unterordner „Statistik“.
Mit Blick auf die Klausur wäre es hilfreich die Aufgaben zu üben in welchen das arithmetische Mittel sowie Streuungen im Mittelpunkt stehen, daman für die folgenden Kapitel in der Lage sein sollte, diesezu berechnen.


PDF Dokument Aufgaben und Lösungen



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