Wissensdatenbank Wirtschaftsrecht

aktuelles Dokument:
DifferentialRechnung
image5
image4
image3
image2
image1
 Alle Kategorien:
  Forschungsdatenbank
  Lehrveranstaltungen
  Lexikon
  Literatur
  Rechtsgebiete
  Rechtsprechung
  Service
  Studium F H S
  Wissensmanagement
ich war hier: DifferentialRechnung

Tutorium Mathematische Grundlagen und Analysis



Gebrochenrationale Funktionen



Aufgabe 1

Bestimmen Sie für die Funktion f(x) = (9-x^2)/(x^2+3)

a) Definitionsbereich
b) Nullstellen
c) Verhalten im Unendlichen
d) Extrempunkte und Art es Extrema


Lösung

a) Definitionsbereich
Db.: x Reelle Zahlen (durch das Quadrat im Nenner wird alles positiv und auch wenn x = 0, wird Nenner nicht 0, da 3 vorhanden)

b) Nullstellen
(9-x^2)/(x^2+3)

(Es reicht aus, sofort nur den Zähler = 0 zu setzen, da durch Multiplikation des Nenners mit null der Zähler wegfällt)
9 -x^2 = 0
9 = x^2
√9 = x1,2
x1= 3
x2 = -3

c) Verhalten im Unendlichen
limx ->+-∞ (9-x^2)/(x^2+3)=limx^2(9/x^2-1)/x^2(1+2/x^2)=-1

d) Extrempunkte und Art des Extrema
-> Ableitungen bilden

f'(x) = -24x/(x^2+3)^2

f(x) =72x^2-72/(x^2+3^2)
Extrema: f'(x) = 0
f
(0) = -8/3 -> Maximum
-24x = 0
x=0
f(0) = 3
HP(0,3)


Aufgabe 2
Bestimmen Sie für folgende Funktion

f(x) = (2x-1)/x^2

a) Definitionsbereich
b) Symmetrie
c) Verhalten im Unendlichen
d) Achsenschnittpunkte
e) Extrempunkte und Art des Extrema
f) Wendepunkte
g) Wendetangente


Lösung

f(x) = (2x-1)/x^2

a) Definitionsbereich
x Reelle Zahlen /

b) Symmetrie
f(x) = (2x-1)/x^2
f(-x) = 2(-x-1)/(-x^2)=-2x-1/x^2->f(x)≠ f(-x) -> keine Achsensymmetrie
-f(x) = - ((2x-1)/x^2))≠ f(-x) -> keine Punktsymmetrie
Erklärung auch einfacher möglich:
Ist die Funktion gerade, liegt Achsensymmetrie vor
Ist die Funktion ungerade, liegt Punktsymmetrie vor.
Da die Funktion jeweils einen geraden und ungeraden Exponenten hat, liegt keine Symmetrie vor.

c) Verhalten im Unendlichen
limx->+-∞ (2x-1)/x^2=limx->+-∞ x(2-1/x)/x^2=limx->+-∞ 2/x = 0

Asymptote ist y= 0.

d) Achsenschnittpunkte
Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle):
f(x) = 0
2x -1 = 0
x = 0,5

Sx(0,5;0)
Schnittpunkt mit der y-Achse:
x = 0
(2*0-1)/0^2
= n.l. -> x = 0 gehört nicht zum Definitionsbereich von f, d.h. der Graph von f hat keinen Schnittpunkt mit der y-Achse.

e) Extrempunkt und Art des Extrema
->Ableitungen bilden

f '(x) = (2-2x)/x^2
f (x) = (4x-6)/x^4
f
'(x) = (24-12x)/x^5

Extrema: f '(x) = 0
f (1) = -2 -> Maximum
2-2x = 0
f(1) = 1
x = 1
HP(1,1)

f) Wendepunkte
f
(x) = 0
f '(3/2)=0,79 ≠ 0 -> WP existiert
4x - 6 = 0
f(3/2)=8/9
4x = 6
x=3/2
WP(3/2;8/9)

g) Wendetangente
a) Anstieg: m = f '(x)
m = f '(3/2)=-8/27

b) Gleichung: y = mx + n
8/9=-8/27*3/2+n
n=4/3
y=-8/27x+4/3

PDF Dokument Aufgaben Differentialgleichung 1
PDF Dokument Aufgaben Differentialgleichung 2
PDF Dokument Lösungen Differentialgleichung


Diese Seite wurde noch nicht kommentiert.
Valid XHTML   |   Valid CSS:   |   Powered by WikkaWiki