Revision [78ec709]
Letzte Änderung am 2016-03-27 07:33:52 durch Jorina Lossau
ADDITIONS
### Tutorium Mathematische Grundlagen und Analysis
#### Gebrochenrationale Funktionen
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| +| **Aufgabe 1**<br />Bestimmen Sie für die Funktion f(x) = (9-x^2)/(x^2+3)<br />a) Definitionsbereich<br />b) Nullstellen<br />c) Verhalten im Unendlichen<br />d) Extrempunkte und Art es Extrema<br />**Lösung**<br />**a)** Definitionsbereich<br />Db.: x Reelle Zahlen (durch das Quadrat im Nenner wird alles positiv und auch wenn x = 0, wird Nenner nicht 0, da 3 vorhanden)<br />**b) Nullstellen**<br />(9-x^2)/(x^2+3)<br />(Es reicht aus, sofort nur den Zähler = 0 zu setzen, da durch Multiplikation des Nenners mit null der Zähler wegfällt)<br />9 -x^2 = 0<br />9 = x^2<br />&#8730;9 = x1,2 <br /> x1= 3<br /> x2 = -3<br />**c)** Verhalten im Unendlichen<br />limx ->+-&#8734; (9-x^2)/(x^2+3)=limx^2(9/x^2-1)/x^2(1+2/x^2)=-1<br />**d)** Extrempunkte und Art des Extrema <br />-> Ableitungen bilden<br />f'(x) = -24x/(x^2+3)^2<br />f''(x) =72x^2-72/(x^2+3^2)<br />Extrema: f'(x) = 0<br />f''(0) = -8/3 -> Maximum<br />-24x = 0<br />x=0<br />f(0) = 3<br />HP(0,3)<br />
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| +| **Aufgabe 2**<br />Bestimmen Sie für folgende Funktion <br />f(x) = (2x-1)/x^2<br />a) Definitionsbereich<br />b) Symmetrie<br />c) Verhalten im Unendlichen<br />d) Achsenschnittpunkte<br />e) Extrempunkte und Art des Extrema<br />f) Wendepunkte<br />g) Wendetangente<br />**Lösung**<br />f(x) = (2x-1)/x^2<br />**a)** Definitionsbereich<br />x Reelle Zahlen / <br />**b)** Symmetrie<br />f(x) = (2x-1)/x^2<br />f(-x) = 2(-x-1)/(-x^2)=-2x-1/x^2->f(x)&#8800; f(-x) -> keine Achsensymmetrie<br />-f(x) = - ((2x-1)/x^2))&#8800; f(-x) -> keine Punktsymmetrie<br />Erklärung auch einfacher möglich:<br />Ist die Funktion gerade, liegt Achsensymmetrie vor<br />Ist die Funktion ungerade, liegt Punktsymmetrie vor.<br />Da die Funktion jeweils einen geraden und ungeraden Exponenten hat, liegt keine Symmetrie vor.<br />**c)** Verhalten im Unendlichen<br />limx->+-&#8734; (2x-1)/x^2=limx->+-&#8734; x(2-1/x)/x^2=limx->+-&#8734; 2/x = 0<br />Asymptote ist y= 0.<br />**d)** Achsenschnittpunkte<br />Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle):<br />f(x) = 0<br />2x -1 = 0<br />x = 0,5<br />Sx(0,5;0)<br />Schnittpunkt mit der y-Achse:<br />x = 0<br />(2*0-1)/0^2<br />= n.l. -> x = 0 gehört nicht zum Definitionsbereich von f, d.h. der Graph von f hat keinen Schnittpunkt mit der y-Achse.<br />**e)** Extrempunkt und Art des Extrema<br />->Ableitungen bilden<br />f '(x) = (2-2x)/x^2<br />f ''(x) = (4x-6)/x^4<br />f '''(x) = (24-12x)/x^5<br />Extrema: f '(x) = 0 <br />f ''(1) = -2 -> Maximum<br />2-2x = 0<br />f(1) = 1<br />x = 1<br />HP(1,1)<br />**f)** Wendepunkte<br />f ''(x) = 0<br />f '''(3/2)=0,79 &#8800; 0 -> WP existiert <br />4x - 6 = 0<br />f(3/2)=8/9<br />4x = 6<br />x=3/2<br />WP(3/2;8/9)<br />**g)** Wendetangente<br />a) Anstieg: m = f '(x)<br />m = f '(3/2)=-8/27<br />b) Gleichung: y = mx + n<br />8/9=-8/27*3/2+n<br />n=4/3<br />y=-8/27x+4/3 <br />
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| +| **[PDF Dokument Aufgaben Differentialgleichung 2](/files/DifferentialRechnung/Differentialgleichung2.pdf)**
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