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Tutorium Mathematik 3


Fourier - Reihen


Dirichletsche - Bedingungen: Eine stetige periodische Signalfunktion f(t) mit der Periodenlänge T lässt sich durch eine trigonometrische Reihe ausdrücken. Auch bei Vorliegen von endlich vielen Unstetigkeiten ist das möglich, sofern alle Unstetigkeiten Sprungstellen sind:

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3Fourier/Fourier1.jpg)

mit dem Gleichanteil:
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3Fourier/Fourier2.jpg)




den Kosinusanteilen:
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3Fourier/Fourier3.jpg)




den Sinusanteilen:
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3Fourier/Fourier4.jpg)





Anmerkungen:
  • Die Integrationen können über beliebige Integrationsintervalle der Länge T durchgeführt werden [t0; t0 + T]
  • Der Gleichanteil ist ggf. geometrisch (über Flächenbetrachtung) einfacher zu erhalten
  • Für den Spezialfall der Periodenlänge T 2 = π wird die Grund(kreis)frequenz ω=1
  • An ggf. vorhandenen Sprungstellen liefert die Fourier-Reihe den Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert, also die halbe Sprunghöhe

Spezialfall: f(t) ist eine gerade Signalfunktion
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3Fourier/Fourier5.jpg)





Spezialfall: f(t) ist eine ungerade Signalfunktion
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3Fourier/Fourier6.jpg)





Reelle sin - Fourier - Reihe
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3Fourier/Fourier7.jpg)














Reelle cos - Fourier - Reihe
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3Fourier/Fourier8.jpg)








Komplexe Fourier - Reihe
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3Fourier/Fourier9.jpg)




mit den komplexen Fourierkoeffizienten Cn, die sich entweder aus den reellen Fourierkoeffizienten berechnen lassen
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3Fourier/Fourier10.jpg)



oder aus der gegebenen Signalfunktion:
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3Fourier/Fourier11.jpg)





PDF Dokument Fourier - Reihen


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