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Tutorium Mathematik 3


Beispielklausur - Lösungen


1. Berechnen Sie das zweifache Integral über das rechteckige Gebiet G mit

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3KlausurL/Mathe1L.jpg)



xє[1;2]yє[0;π] ∫∫x*sin(y)dxdy

Lösung: 3


2. Gegeben ist die Funktion y(t) = e^2t im Intervall [0; 0,5].
2.1 Berechnen Sie den integralen Mittelwert in diesem Intervall!

Lösung:

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3KlausurL/MatheL2.jpg)

y_=e-1≈ 1,72

Denken Sie sich diese Funktion periodisch mit T = 0,5 fortgesetzt und bestimmen Sie für diesen Fall den Effektivwert.

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3KlausurL/MatheL3.jpg)



Lösung:
yeff=√(1/2(e^2-1))≈1,79

3. Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung mit Hilfe des λ -Ansatzes und einem geeigneten Ansatz für die partikuläre Lösung :
y’’ + 10y’ + 34y = sin(x)

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3KlausurL/MatheL5.jpg)



Lösung: y=e^(-5x)(AcosBx)+Bsin(3x))-0,00841cosx+0,027-6sinx


4. Aufgabe: Laplace - Transformation
4.1. Transformieren Sie unter Verwendung von Korrespondenztabellen folgende Funktionen vom Zeit- in den Bildbereich:
a) f(t) = 4e^ -t
b) f(t) = t*e^ -5t
c) f(t) = 5cos (8t)

Lösung:
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3KlausurL/MatheL4.jpg)


Lösung:
a) F(s)=4/(s+1)
b) F(s)=1/(s+5)^2
c) F(s)=5s/(s^2+64)

4.2. Transformieren Sie unter Verwendung von Korrespondenztabellen die Bildfunktionen in den Zeitbereich:

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3KlausurL/MatheL6.jpg)


d) F(s)=5/(s^2+9)
e) F(s)=8/(s^2+4s+53)
f) F(s)=5/(s-5)^3

4.3. Lösen Sie die nachfolgende Anfangswertaufgabe mit Hilfe der Laplacetransformation :
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3KlausurL/MatheL7.jpg)



x..+5x.+6x=t
x(0)=1; x.(0)=2
Lösung:
x(t)=1/36(-5Ѳ(t)+6t+189e^(-2t)-148e^(-3t))

5. Man löse die inhomogene Differentialgleichung mittels Variation der Konstanten: y' - 2y = x* e ^ 2x
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3KlausurL/MatheL8.jpg)


Lösung:
y=(1/2x^2+c)e^(2x)

6. Fourier - Reihen

6.1. Gegeben sind 3 Funktionen y = f(t) mit der Periodendauer T = 2π durch einen nur im Intervall [-π; π] zutreffenden Ausdruck. Fertigen Sie von allen drei Funktionen eine Skizze für den Bereich t ∈ [-3π ; 3π ] an :

a) y = | t |+ t in [-π ; π ] T = 2π
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3KlausurL/MatheL9.jpg)












b) y = t^2 in [-π ; π ] T = 2π
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3KlausurL/MatheL10.jpg)













c) y = sin (t/2) in [-π ; π ] T = 2π
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3KlausurL/MatheL11.jpg)













6.2. Bestimmen Sie für alle drei Funktionen den Gleichanteil a0/2 und tragen ihn in die Tabelle ein. Untersuchen Sie, ob die Koeffizienten der reellen Fourierreihe an (cos - Anteile) bzw. bn (sin - Anteile) Null sind, und vermerken das in der nachfolgenden Tabelle durch ja oder nein.

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3KlausurL/MatheL12.jpg)


Funktion in [-π;π] a0/2=? alle a1, a2..=0? alle b1, b2..=0?
a) y=Betrag von t + t π/2 Nein Nein
b) y=t^2 π^2/3 Nein Ja
c)y=sin(t/2) 0 Ja Nein


6.3. Berechnen Sie für die unter a) gegebene Funktion die Koeffizienten a2 und b2 der reellen Fourierreihe für die 2. Harmonische (n = 2). Berechnen Sie aus a2 und b2 auch die Koeffizienten A2 und φ2 des Amplituden- und Phasenspektrums.

Lösung:

a2 = 0;b2 = -1
A2 = 1;φ2 = π


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