Tutorium Mathematik 2
Integralrechnung - Lösungen
| 6.1 Berechnen Sie folgende Integrale durch lineare Substitution: a) ∫√(2x+b)dx b) ∫sin(4t-ℓ)dt c) ∫(von 1 bis 2) dx/(3x-1)^2 Lösung: a) ∫√(2x+b)dx lineare Substitution: z=2x+b dz/dx=2 ->dx=dz/2 ∫√(2x+b)dx = ∫√z dx/2= 3/2*z^(3/2)*1/2+C=1/3(2x+b)^3/2+C b) ∫sin(4t-ℓ)dt lineare Substitution: z=4t-ℓ dz/dt=4->dt=dz/4 ∫sin(4t-ℓ)dt=∫sin(z)dz/4=-1/4cos(z)+C=-1/4cos(4t-ℓ)+C c) ∫(von 1 bis 2) dx/(3x-1)^2 lineare Substitution: z=(3x-1) dz/dx=3 -> dx=dz/3 ∫(von 1 bis 2) dx/(3x-1)^2= ∫ (von x=1 bis x=2)1/z^2 dz/3=(-1/3*1/z)von x=1 bis x=2 = (-1/3*1/(3x-1) von x=1 bis x=2 = 1/10 6.2 Berechnen Sie die unbestimmten Integrale mit den angegebenen Methoden. Alle dazu notwendigen Zwischenschritte müssen klar erkennbar sein: J=∫√(8x+17)^5dx J=∫x^3ln(3x)dx J=∫(2x-1)/x(x+3)^2 a) lineare Substitution b) partielle Integration c) Partialbruchzerlegung Lösung: a) ∫√(8x+17)^5dx lineare Substitution: z=8x+17 dz/dx=8 -> dx=dz/8 ∫√(8x+17)^5dx=∫z^5/2dz/8=2/7*1/8*z^7/2+C=1/28√(8x+17)^7+C b)∫x^3ln(3x)dx partielle Integration: ∫u'*vdx=u*v-∫v' *udx u'=x^3 u=1/4x^4 v=ln(3x) v'=1/x ∫x^3ln(3x)dx=ln(3x)*1/4x^4-∫1/x*1/4x^4=1/4x^4*ln(3x)-1/16x^4+C 6.3 Berechnen Sie die bestimmten Integrale mit linearer Substitution bzw. mit Partialbruchzerlegung a) J=∫(von 0 bis π)sin(2t/3-π/2)dt b) ∫(von 1 bis 2)(2x-1/((x+2)(x-4)))dx Lösung: a) ∫(von 0 bis π)sin (2t/3-π/2)dt lineare Substitution: z=2t/3-π/2 dz/dt=2/3 -> dt=3dz/2 ∫(von 0 bis π)sin(2t/3-π/2)dt=∫(von t=0 bis t=π)sin(z)3/2dz=(-3/2cos(z))von t=0 bis t=π =(-3/2cos(2t/3-π/2))von 0 bis π = -3/4√3 =rund -1,299 b) ∫(von 1 bis 2) (2x-1)/((x+2)(x-4))dx Grad des Zählerpolynoms =1 Grad des Nennerpolynoms =2 -> echt gebrochen rationale Funktion Nullstellen: x1=-2; x2=4 ∫(von 1 bis 2) (2x-1)/((x+2)(x-4))dx=∫(von 1 bis 2)(A/(x+2)+B/(x-4)dx=∫(von 1 bis 2)(A(x-4)/(x+2)+B(x+2)/(x-4))dx Zählervergleich: 2x-1=A(x-4)+B(x+2) x1=-2 -5=-6A-> A=5/6 x2=4 7=6B -> B=7/6 ∫(von 1 bis 2)(((5/6)/(x+2))+(7/6)/(x-4))dx=(5/6ln(Betrag von x+2)+7/6ln(Betrag von x-4)von 1 bis 2 =5/6ln(4/3)+7/6ln(2/3)=rund -0,2333 6.4 Berechnen Sie folgende Integrale ausführlich mit partieller Integration und Partialbruchzerlegung a) J=∫x/((x-1)(x-4)^2)dx b) J=∫(von 0 bis 2)x*e^(2x+1)dx Lösung: a) J=∫x/((x-1)(x-4)^2)dx Grad des Zählerpolynoms=1 Grad des Nennerpolynoms=3 -> echt gebrochen rationale Funktion Nullstellen: x1=1; x2=4 ->mehrfach reelle Nullstelle J=∫x/((x-1)(x-4)^2)dx=∫(A/(x-1)+B/(x-4)+C/(x-4)^2)dx =∫((A(x-4)^2+B(x-1)(x-4)+C(x-1))/((x-1)(x-4)^2)dx Zählervergleich: x=A(x-4)^2+B(x-1)(x-4)+C(x-1) x1=1 1=9A -> A=1/9 x2=4 4=3C -> C=4/3 x^2: 0=A+B->B=-1/9 ∫((1/9)/(x-1)+-(1/9)/(x-4)+(4/3)/(x-4)^2)dx=1/9ln(Betrag von x-1)-1/9ln(Betrag von x-4)-4/3*1/(x-4)+C =1/9ln(Betrag von x-1/x-4)-4/3*1/(x-4)+C b)J=∫(von 0 bis 2)x*e^(2x+1)dx partielle Integration: ∫u' *v dx= u*v-∫v' *u dx u'=e^(2x+1) u=1/2e^(2x+1) v =x v' =1 J=∫(von 0 bis 2)x*e^(2x+1)dx=1/2e^(2x+1)*x-∫1/2e^(2x+1) =((1/2x*e^(2x+1)x-1/4e^(2x+1))von 0 bis 2 = 3/4e^5+1/4e =rund 111,989 6.5 Berechnen Sie die nachfolgenden Integrale durch Anwendung der partiellen Integration bzw. mit Hilfe der Partialbruchzerlegung. Alle dazu notwendigen Zwischenschritte müssen in logischer Reihenfolge deutlich erkennbar sein: a)∫(x^4+x^2)/((x+2)(x-4)^2)dx b) ∫x^2ln(5x)dx Lösung: a)∫((x^4+x^2)/(x+2)(x-4)^2)dx=∫((x^4+x^2)/(x^3-6x^2+32))dx Grad des Zählerpolynoms = 4 Grad des Nennerpolynoms = 3 -> unecht gebrochen rationale Funktion Polynomdivision: (x^4+x^2):(x^3-6x^2+32)=x+6+((37x^2-32x-192)/(x^3-6x^2+32)) -(x^4-6x^3+32x) 6x^3-32x+x^2 -(6x^3-36x^2+192) 37x^2-32x-192 J1=∫(x+6)dx=1/2x^2+6x J2=∫(37x^2-32x-192/((x+2)(x-4)^2)dx=∫((A/(x+2)+B/(x-4)+C/(x-4)^2)dx Nullstellen: x1=-2; x2=4 -> mehrfach reelle Nullstelle ∫(37x^2-32x-192)/((x+2)(x-4)^2)dx = ∫((A(x-4)^2+B(x+2)(x-4)+C(x+2))/(x+2)(x-4)^2)dx Zählervergleich: 37x^2-32x-192=A(x-4)^2+B(x+2)(x-4)+C(x+2) x1=-2 20=36A -> A=5/9 x2=4 272=6C -> C=136/3 x^2: 37=A+B -> B=328/9 J2=∫((5/9)/(x+2)+(136/3)/(x-4)+(328/9)/(x-4)^2)dx=5/9ln(Betrag von x+2)+136/3ln(Betrag von x-4)-328/9*1/(x-4) J=J1+J2=1/2x^2+6x5/9ln(Betrag von x+2)+136/3ln(Betrag von x-4)-328/9*1/(x-4)+C b) ∫x^2ln(5x)dx partielle Integration: ∫u' *v dx=u*v-∫v' *u dx u' =x^2 u=1/3x^3 v=ln(5x) v' =1/x ∫x^2ln(5x)dx=1/3x^3ln(5x)-∫1/x*1/3x^3dx=1/3x^3*ln(5x)-1/9x^3+C |
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