Tutorium Elektrotechnik 3


Teil 1: Wiederholung zu komplexen Zahlen



1.1 Darstellungsformen

Die Darstellung von komplexen Zahlen kann für die Elektrotechnik in 3 Formen klassifziert werden:


  • arithmetische Form
  • trigonometrische Form
  • Exponentialform


arithmetische Form:
z=a+jb

--> Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren
--> Darstellung von Schaltungen mit komplexen Widerständen

trigonometrische Form:
z=Betrag von z*(cosℓ+- j*sinℓ)


Diese Form dient der Koppelung, um Wechselsignale mit Sinus- oder Kosinusform einzubringen bzw. Ströme und Spannungen in dieser Form darzustellen

Exponentialform:
z=Betrag von z*e^(+-j*ℓ)



--> Multiplizieren, Dividieren, Potenzieren, Radizieren
--> Darstellung von komplexen Strömen, Spannungen und Widerständen
--> Anwendung des ohmschen Gesetzes


1.2 Umformungen

Arithmetische Form --> Expontentialform, trigonometrische Form
  • ℓ=arctan b/a
  • Betrag von z = √(a^2+b^2)





Exponentialform --> trigonometrische Form
  • Eulersche Beziehung
  • cosℓ+-j*sinℓ=e^(+-jℓ)



Trigonometrische Form --> arithmetische Form
  • a=Betrag von z*cosℓ
  • b=Betrag von z*sinℓ



Eine graphische Darstellung von komplexen Zahlen ist ebenfalls möglich. Hierbei muss man sich die Gauÿ'sche Zahlenebene zu Hilfe machen.(siehe Tafel)



1.3 Addition (arithmetische Form)

z1+z2=a1+jb1+a2+jb2=(a1+a2)+j*(b1+b2)




Aufgabe 1:
Gegeben sind folgende komplexe Zahlen

z1 = 3 + 4j
z2 = 2 + 8j
z3 = 4 - 7j
z4 = 8 - 3j

Bitte ermitteln Sie folgende Ausdrücke:

z1+z2, z2+z3, z3+z4



a) arithmetisch
b) graphisch

1.4 Subtraktion (arithmetische Form)

z1 - z2 = (a1+jb1) - (a2+jb2) = (a1-a2)+j * (b1-b2)

Aufgabe 2:

Gegeben sind die komplexen Zahlen aus Aufgabe 1. Bitte ermitteln Sie folgende Ausdrücke:

z1-z2, z2-z3, z3-z4

a) arithmetisch
b) graphisch

1.5 Multiplikation (arithmetische Form)

z1*z2 = (a1+ jb1) * (a2 + jb2)=a1a2 + ja1b2 + ja2b1+ j^2b1b2 = a1a2 - b1b2 + j(a1b1 + a2b1)

Aufgabe 3:

Gegeben sind die komplexen Zahlen aus Aufgabe 1. Bitte ermitteln sie arithmetisch folgende Ausdrücke:

z1*z2, z2*z3, z3*z4

1.6 Division (arithmetische Form)

Wichtiger Hinweis : Um eine arithmetische Division durchzuführen müssen Zähler und Nenner mit dem konjugiert komplexen erweitert werden.

z=a+-jb -><-z*=a=/jb
z1z2 =(a1+jb1)/(a2+jb2)=(a1+jb1)/(a2+jb2)*(a2-jb2)/(a2-jb2)=(a1a2-ja1b2+ja2b1+b1b2)/(a2^2+b2^2)





Aufgabe 4:
Gegeben sind die komplexen Zahlen aus Aufgabe 1. Bitte ermitteln Sie arithmetisch folgende Ausdrücke:
z1:z2, z2:z3, z3:z4



1.7 Multiplikation (Exponentialform)


z1*z2=Betrag von z1* Betrag von z2*e^(j(ℓ1+ℓ2))



Aufgabe 5:

a) Bilden Sie die Exponentialform von den Ausdrücken aus Aufgabe 1.

b) Multiplizieren Sie mit Hilfe der Exponentialschreibweise.

c) Bilden Sie die arithmetische Form der Ergebnisse und geben Sie den Real- und den Imaginärteil.

1.8 Division (Exponentialform)


z1z2=Betrag von z1/Betrag von z2*e^(j*(ℓ1-ℓ2))


Aufgabe 6:

a) Bilden Sie die Exponentialform von den Ausdrücken aus Aufgabe 1.

b) Dividieren Sie mit Hilfe der Exponentialschreibweise.

c) Bilden Sie die arithmetische Form der Ergebnisse und geben Sie den Real- und den Imaginärteil an.


1.9 Potenzieren (Exponentialform)

z^n=(Betrag von z*e^(jℓ)^n*e^(jℓn)



Wichtiger Hinweis :

Beim Potenzieren mit kann es im Argument zu Winkeln kommen, die gröÿer als 360 Grad sind. Solche Winkel signalisieren einen oder mehrere Umläufe des Zeigers in der komplexen Ebene. Um einen Winkel im Bereich zwischen 0 Grad und 360 Grad zu erhalten, muss mit einem vielfachen von 360 Grad addiert bzw. subtrahiert werden.

Aufgabe 7:

Berechnen Sie bitte folgende Ausdrücke und geben Sie die Ergebnisse in arithmetischer, trigonometrischer und in Exponentialform an.

a) z1^7, b) z2^-10, c) z3^15, d) z4^-16

1.10 Radizieren (Exponentialform)

n√z=(Betrag von z*e^(jℓ+k360Grad)^1/n=(Betrag von z)^1/n*e^((jℓ+k360Grad)/n)




Wichtiger Hinweis :

Durch da ziehen einer n-ten Wurzel, bekommt man immer n Lösungen. Im komplexen Zahlenbereich erhält man dadurch n Zeiger die alle um denselben Winkel voneinander entfernt sind. Die Lösungen lassen sich durch die Addition mit dem k-fachen von 360 Grad im Argument ermitteln. Hierbei gilt:

k Element von Z, k=n-1, k=0, 1, 2, 3



Aufgabe 8:

Berechnen Sie bitte folgende Ausdrücke und geben Sie die Ergebnisse in arithmetischer, trigonometrischer und in Exponentialform an.

a) 7√z1, b)4√z3

1.11 Zusammenfassung

z = a + jb

z=Betrag von z*(cosℓ+jsinℓ)

z=(Betrag von z)e^(jℓ)

Re{z}=a=(Betrag von z)cosℓ

Im{z}=b=(Betrag von z)sinℓ

Betrag von z =√(a^2+b^2)

ℓ=arctan(b/a)+180Grad wenn a<0

e^(j0)=1=j^2

e^(jπ/2)=j=j^1

e^(jπ/2)=-j=j^3

sinℓ=cos(ℓ-π/2)

cosℓ=sin(ℓ+π/2)

sinℓ=(e^(jℓ)-e^(-jℓ))/2j

cosℓ=(e^(jℓ)-e^(-jℓ))/2


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