Tutorium Statistik
4. Eindimensionale stetige Zufallsvariable
| Grundbegriffe: f ( x ): Dichtefunktion der Zufallsvariable x F ( x ): Verteilungsfunktion der Zufallsvariable x E ( x ): Erwartungswert der Zufallsvariable x Var ( x )=σ^2: Varianz der Zufallsvariable x P ( a ⩽ x ⩽b ): Wahrscheinlichkeit Formelsammlung: S. 51 – 52 |
| Übungsaufgaben: (1) Eine Zufallsvariable X besitzt die Dichtefunktion f ( x )={1/18(3+2*x), 2⩽ x ⩽ 4 ; 0, sonst. a) Überprüfen Sie, ob es sich bei der angegebenen Funktion um eine Dichtefunktion handelt. b) Man bestimme die zugehörige Verteilungsfunktion F(x). c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P1(2 ≤ X ≤ 3), P2(X < 2) und P3(2,5 ≤ X ≤ 4). d) Ermitteln Sie den Erwartungswert der Variablen x. e) Ermitteln Sie die Streuung. |
| Lösung a) fx( x )⩾ 0 ist erfüllt: fx(2)=7/18⩾ 0 fx(4)=11/18⩾ 0 ∫f(x)dx=1 ist erfüllt wobei ∫ von -∞ bis ∞ FS S.51 Bedingungen ∫(1/18*(3+2x))=1 wobei ∫ von 2 bis 4 ∫(1/6+1/9x)=1 [1/6x+1/18x^2] von 2 bis 4=1 2/3+8/9-1/3-2/9=1 b) F ( x )= ∫f ( v ) dv wobei ∫ von 2 bis x F ( x )= ∫f (1/6+1/9v)dv wobei ∫ von 2 bis x F(x)=[1/6v+1/18v^2] von 2 bis x F(x)=1/6x+1/18x^2-5/9 F(x)={0,für x <2 ; 1/6x+1/18x^2-5/9, für 2 ⩾ x ⩽ 4 ; 1, für x >4 c) P1( 2 ⩽ x ⩽3 )= 44,44 % P2( x < 2)=0 % P3( 2,5⩽ x ⩽4)=79,2 % d) E(x)=83/27=3,074 e) Var(x)=σ^2=239/729=0,3278 √( Var ( x ) )=σ =±0,5726 |
| (2) Für die Verspätung X (in Minuten) eines Flugzeugs einer bestimmten Fluggesellschaft auf dem Flughafen Erfurt wurde folgenden Dichtefunktion ermittelt: f ( x )={x −√x +7/6, 0⩽ x ⩽1 ; 0, sonst. Ermitteln Sie a) die durchschnittliche Verspätung des Flugzeuges. b) die Streuung c) die Wahrscheinlichkeit, dass die Verspätung zwischen 0,3 und 1,5 min beträgt. a) E(x) = ∫x*f(x)dx wobei ∫ von −∞ bis ∞ E(x) = ∫x* (x-√x+7/6)dx wobei ∫ von 0 bis 1 E(x) = ∫x^2 - x^1,5 + 7/6xdx wobei ∫ von 0 bis 1 E(x) = (1/3x^3 - 2/5x^2,5 + 7/12x^2) von 0 bis 1 E(x) = 1/3-2/5+7/12-0 E(x) = 0,5167 FS S.52 Erwartungswert b) Var(x) =∫x^2*f(x)dx-E(x)^2 wobei ∫ von −∞ bis ∞ Var(x) =∫x^2*(x-√x+7/6)dx-0,5167^2 wobei ∫ von 0 bis 1 Var(x) =∫(x^3-x^2,5+7/6x^2)dx-0,5167^2 wobei ∫ von 0 bis 1 Var(x) =(1/4x^4-2/7x^3,5+7/18x^3)-0,5167^2 von 0 bis 1 Var(x) =1/4-2/7+7/18-0-0,5167^2 Var ( x )=σ^2=0,0862 √(Var(x))=σ =±0,2936 FS S.52 Varianz c) P ( 0,3⩽ x ⩽1 )=∫f ( x ) dx wobei ∫ von 0,3 bis 1 P ( 0,3⩽ x ⩽1 )=∫x-√x+7/6dx wobei ∫ von 0,3 bis 1 P ( 0,3⩽ x ⩽1 )=(1/2x^2-2/3x^1,5+7/6x)von 0,3 bis 1 P ( 0,2 ⩽ x ⩽1 )=1− 0,2855 P ( 0,2 ⩽ x ⩽1 )=71,45 % FS S.51 Wahrscheinlichkeit |
| (3) Weitere Übungsaufgaben: Weitere Übungsaufgaben zu diesem Kapitel sind erhältlich im „share“-Ordner der Fakultät Wirtschaft im Unterordner „Statistik“. |
| PDF Dokument Aufgaben und Lösungen |
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